3桶问题的证明(更新)

l
llaalways
楼主 (未名空间)
在压力分析时忽略上面桶内流动,这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
g为重力加速度,d为水约密度,h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K-1。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。
有了这个关系可以证明C桶最快。新的证明在85楼。

证明很复杂,但定性的说明很简单:

流速跟压差正相关,压差跟上面桶里水位正相关。
开始的时候,液面一样,压差一样,流速一样。
可是C的液面下降最慢,因此在开始后的一段时间里C的流速最快。
随着时间推进,C的液面下降越来越快。最后C的液面会低于A,B。
流速也较低,但这时C里的水剩下最少。
所以在整过过程中,C的平均流速一直最快。
H
Huangchong
2 楼
牛擦 看不懂
y
yangyi
3 楼
看不懂啊?嘿,那就好办了。

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
牛擦 看不懂
l
llaalways
4 楼
对呀。这是上来就给你忽悠晕乎,然后我说的就都对了。
【 在 yangyi ( 哥本哈根达斯) 的大作中提到: 】
看不懂啊?嘿,那就好办了。
H
Huangchong
5 楼
我也觉得比看得懂的情况省事多了。
【 在 yangyi ( 哥本哈根达斯) 的大作中提到: 】
看不懂啊?嘿,那就好办了。
S
Simeone
6 楼
最上面的公式V对么?
l
llaalways
7 楼
自己验证一下。
【 在 Simeone (迭戈 西蒙尼) 的大作中提到: 】
最上面的公式V对么?
H
Huangchong
8 楼
第一个公式里的A是啥?为啥三个体积(V相等,但是里面的s显然不相等)都可以用公
式表示?A是和s相关的么?
H
Huangchong
9 楼
A是三个不同的底面积么?
n
ne5234
10 楼
这题简单到最多只用到了对数,连个角函数都没用到
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
有一个假设,就是流速和上面桶内水的高度有一个线性关系。
其实不需要线性关系,只要是单调关系就行。
但用线性关系比较容易证明。
l
llaalways
11 楼
三个桶A相同。就是B桶的底面积。
【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
A是三个不同的底面积么?
H
Huangchong
12 楼
那怎么能做到s不同,h相同,A相同,算出来V相同?

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
三个桶A相同。就是B桶的底面积。
H
Huangchong
13 楼
A明显应该不同啊,原题条件是V和h相同,s不同

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
三个桶A相同。就是B桶的底面积。
l
llaalways
14 楼
h=H的时候,V与s无关

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
那怎么能做到s不同,h相同,A相同,算出来V相同?
S
Simeone
15 楼
【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
那怎么能做到s不同,h相同,A相同,算出来V相同?
圆柱圆锥体积算法一样么?高中立体几何完全忘了
l
llaalways
16 楼
h是变量, H是h的初始值
【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
A明显应该不同啊,原题条件是V和h相同,s不同
H
Huangchong
17 楼
哦,我把V当成V0了。

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
h=H的时候,V与s无关
H
Huangchong
18 楼
那p和q是啥?
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
h是变量, H是h的初始值
H
Huangchong
19 楼
圆锥=1/3同底同高的圆柱
【 在 Simeone (迭戈 西蒙尼) 的大作中提到: 】
圆柱圆锥体积算法一样么?高中立体几何完全忘了
l
llaalways
20 楼
假设流速和上面桶内水的高度有一个线性关系。
其实不需要线性关系,只要是单调关系就行。
但用线性关系比较容易证明。
【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
那p和q是啥?
t
timefall
21 楼
属实

【在 yangyi( 哥本哈根达斯)的大作中提到:】
:看不懂啊?嘿,那就好办了。
r
rbs
22 楼
流速v和水的高度h的关系是 v=(2gh)^1/2
c
centersnow
23 楼
我仔细看了0.5秒
应该只懂第一句话

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
有一个假设,就是流速和上面桶内水的高度有一个线性关系。
其实不需要线性关系,只要是单调关系就行。
但用线性关系比较容易证明。
H
Huangchong
24 楼
有道理 水库似乎就基本是这样

【 在 rbs (jay) 的大作中提到: 】
流速v和水的高度h的关系是 v=(2gh)^1/2
r
rbs
25 楼
学过流体力学都知道Bernoulli方程,不过这里假设桶内水面的下降速度远小于水流通
过下面的小孔的速度
r
reknaz
26 楼
这是 Bernoulli's principle 的一个特殊情形,叫做 Torricelli's theorem。lz 的
推导很不容易看明白主要是因为很多参数或变量没有事先清楚地定义,直接就放公式里了,比如 s,A 等等。

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
有道理 水库似乎就基本是这样
K
Karcas2
27 楼
擦,终于有人来解方程了

我前两天简单算了下,没有算完全,时间对速度(高度)的函数是凸还是凹跟里面这些常数大小有关系,应该没错吧
m
meyer
28 楼
解答中s是什么?
l
llaalways
29 楼
dr/dh

【 在 meyer (梅姐) 的大作中提到: 】
解答中s是什么?
l
llaalways
30 楼
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
在压力分析时忽略液面下降速度,这桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。 g为重力加速度
,d为水约密度,h为桶内水面高度。而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为
gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。有了这个关系可以证明C桶最
快。一会儿贴上来。
原证明中假设桶内水的高度有一个线性关系,比较容易证明。
l
llaalways
31 楼
上面图片不清楚,重贴一下
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
在压力分析时忽略液面下降速度,这桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。 g为重力加速度
,d为水约密度,h为桶内水面高度。而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为
gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。有了这个关系可以证明C桶最
快。新的证明在30楼。
r
reknaz
32 楼
大概看懂了你的推导。我曾判断 s 是个描述形状的参数,比如圆台上下半径差对其中
一个半径的比值,现在看来你取的是斜率。你第二行使用的是出水速度和高度的线性关系,虽然结果类似,但还是改一下比较好。另外,你式子里的 p 和 q 应该只是参数,但物理里 p 有特殊含义,因为你不是每个参数都标注十分清楚,建议不要用 p 这种有特殊含义的符号。你的思路是先定义一个描述形状的参数,由此通过所剩水的体积和水的体积变化给出水面高度和时间的关系的微分表达式,然后积分得到时间对于形状参数的依赖关系。我没有精力验算你的全部推导过程,但这个思路我认为应该是对的,关键是这里参数 s 有多种选法,但选得合适才能得到比较简练的所剩水体积的表达式。

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
dr/dh
l
llaalways
33 楼
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
在压力分析时忽略液面下降速度,这桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。 g为重力加速度
,d为水约密度,h为桶内水面高度。而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为
gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。有了这个关系可以证明C桶最
快。新的证明在31楼。
l
llaalways
34 楼
不好意思。刚才修改的匆忙,有点typo
修改后的证明在32楼。
【 在 reknaz (拖把套) 的大作中提到: 】
大概看懂了你的推导。我曾判断 s 是个描述形状的参数,比如圆台上下半径差对其中
一个半径的比值,现在看来你取的是斜率。你第二行使用的是出水速度和高度的线性关
系,虽然结果类似,但还是改一下比较好。另外,你式子里的 p 和 q 应该只是参数,
但物理里 p 有特殊含义,因为你不是每个参数都标注十分清楚,建议不要用 p 这种有
特殊含义的符号。你的思路是先定义一个描述形状的参数,由此通过所剩水的体积和水
的体积变化给出水面高度和时间的关系的微分表达式,然后积分得到时间对于形状参数
的依赖关系。我没有精力验算你的全部推导过程,但这个思路我认为应该是对的,关键
是这里参数 s 有多种选法,但选得合适才能得到比较简练的所剩水体积的表达式。
l
llaalways
35 楼
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
在压力分析时忽略液面下降速度,这桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。 g为重力加速度
,d为水约密度,h为桶内水面高度。而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为
gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。有了这个关系可以证明C桶最
快。新的证明在33楼。
l
llaalways
36 楼
在压力分析时忽略上面桶内流动,这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
g为重力加速度,d为水约密度,h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K-1。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
H
Huangchong
37 楼
越来越复杂 还是昨天那个略好懂些

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
l
llaalways
38 楼
因为想给s一个明确的定义。
【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
越来越复杂 还是昨天那个略好懂些
l
llaalways
39 楼
另外也换成了流速平方跟压差成正比,而不是流速跟压差成正比。
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
因为想给s一个明确的定义。
l
llaalways
40 楼
这些公式都是我自己推的,没借助mathematica. 慢还容易出错。
H
Huangchong
41 楼
能不能直接搞一个通用的单调函数,不依赖任何特定的流速-压强关系。这样的结果更
有普遍意义(因为现实里流体被各种阻碍就得到这种关系)。也就是说只要流速和压强存在正相关就得到同样的结论。

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
另外也换成了流速平方跟压差成正比,而不是流速跟压差成正比。
l
llaalways
42 楼
定性的说明,在另一个帖子的回帖里
【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
能不能直接搞一个通用的单调函数,不依赖任何特定的流速-压强关系。这样的结果更
有普遍意义(因为现实里流体被各种阻碍就得到这种关系)。也就是说只要流速和压强
存在正相关就得到同样的结论。
l
llaalways
43 楼
拷贝到主贴里了。
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
定性的说明,在另一个帖子的回帖里
r
reknaz
44 楼
这次步骤清楚多了,虽然我顾不过来验证每一步的数学推导(我总体上比较 trust 你
的推导)了。这题的一点点物理就是判断能否使用 rbs 给的关系式,其它其实就是数
学了。你的定性解释,有一个关键是 A 液面有高的时候,所以总体上 C 平均流速快这个说法并不严格。这个定性解释也可以有不涉及公式的严格证明,思路是当 C 的液面
降到和 A 持平时候,将 C 和 A 的一部分比较,通过 C 快于 A 的一部分,而 A 的一部分快于 A 的整体来定性证明。这里如何选取这个 A 的一部分就相当于几何里的添加辅助线,相当关键。

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
在压力分析时忽略上面桶内流动,这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
g为重力加速度,d为水约密度,h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
t
timefall
45 楼
我在父母版有证明,我拷贝过来就是了。

【在 Huangchong(净坛使者)的大作中提到:】
:能不能直接搞一个通用的单调函数,不依赖任何特定的流速-压强关系。这样的结果更
:有普遍意义(因为现实里流体被各种阻碍就得到这种关系)。也就是说只要流速和压强存在正相关就得到同样的结论。
l
llaalways
46 楼
在C的液面低于A之前,C的流速都大于A,所以C中剩余的水远少于A。
当C的液面赶上A时, C和A有相同的高度,相同的流速。后面那个液面下降得快,应该
很少争议。
【 在 reknaz (拖把套) 的大作中提到: 】
这次步骤清楚多了,虽然我顾不过来验证每一步的数学推导(我总体上比较 trust 你
的推导)了。这题的一点点物理就是判断能否使用 rbs 给的关系式,其它其实就是数
学了。你的定性解释,有一个关键是 A 液面有高的时候,所以总体上 C 平均流速快这
个说法并不严格。这个定性解释也可以有不涉及公式的严格证明,思路是当 C 的液面
降到和 A 持平时候,将 C 和 A 的一部分比较,通过 C 快于 A 的一部分,而 A 的一
部分快于 A 的整体来定性证明。这里如何选取这个 A 的一部分就相当于几何里的添加
辅助线,相当关键。
t
timefall
47 楼
老邢这个破 app 狠难 copy paste。我改成转贴过来。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:我在父母版有证明,我拷贝过来就是了。
t
timefall
48 楼
另外我把相同体积时,C 杯液面高度最高的证明也转过来了,转了两贴,一起看。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:老邢这个破 app 狠难 copy paste。我改成转贴过来。
n
ne5234
49 楼
你们弄了这么久,写了这么多算式,不知道三桶问题是无解的么,是混沌的起源么。
t
timefall
50 楼
错了,三捅问题是 convex 思想的起源,无论大大小小还是粘滞与否,都是 C。

【在 ne5234(Nessun Dorma)的大作中提到:】
:你们弄了这么久,写了这么多算式,不知道三桶问题是无解的么,是混沌的起源么。
l
llaalways
51 楼
我早说过了无论大大小小还是粘滞与否,都是 C。
因为C-cup最好看

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
错了,三捅问题是 convex 思想的起源,无论大大小小还是粘滞与否,都是 C。
:你们弄了这么久,写了这么多算式,不知道三桶问题是无解的么,是混沌的起源么。
t
timefall
52 楼
属实

【在 llaalways(熊大)的大作中提到:】
:我早说过了无论大大小小还是粘滞与否,都是 C。
:因为C-cup最好看
x
xuem1
53 楼
不用这么复杂。

设高h0,上表面半径r1,下表面半径r2,圆柱半径为r^2=(r1^2+r2^2+r1r2)/3, let a=(r2-r1)/h0
当液面处于h高度时,有:

A: dv=Pi*(r1^2+a^2(h0-h)^2+2r1(h0-h)a)dh
B: dv=Pi*r^2dh
C: dv=Pi*(r1^2+h^2a^2+2r1a)

上楼说的:dv/dt=Ah^0.5

有:
A:f1(ho)-(2r1^2+4r1a+2h0^2a^2)h^0.5+0.4h^2.5a^2-(4/3r1a+4/3h0a^2)h^1.5=Ct
B: 2r^2(h0^0.5-h^0.5)=CT
C:f2(h0)-(2r1^2h^0.5+4/3*h^1.5a+0.4h^2.5a^2)=Ct

如果r1=1,r2=2,ho=1,如下图:

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
在压力分析时忽略上面桶内流动,这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
g为重力加速度,d为水约密度,h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
t
timefall
54 楼
这么多符号没法心算吧。。。当然算 dV 的思考方向应该是狠简洁的。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:不用这么复杂。
x
xuem1
55 楼
如果估算,你需要担心是那个反转点,有没有一种可能,C还没有追上A,A中水已经流
完了?

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
这么多符号没法心算吧。。。当然算 dV 的思考方向应该是狠简洁的。
:不用这么复杂。
l
llaalways
56 楼
不可能,C追上A之前,C的流速一直都比A大。C还没流完,A一定不会流完。

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
如果估算,你需要担心是那个反转点,有没有一种可能,C还没有追上A,A中水已经流
完了?
t
timefall
57 楼
你没看我的估算,我的估算根本不是在“等时间点赛跑高速摄影”的角度估算的,根本没有所谓 “反转点” 的概念。我把估算第一部分 copy & paste 过来如下:

【 以下文字转载自 Parenting 讨论区 】
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 22 15:08:25 2017, 美东)

简单小结就是:

对于相同的体积时,C 的液面高度一定比 B 高。

因此对于相同的体积时,C 的流速一定比 B 快。

于是从满杯到空杯,使用同样的 delta-V 步长,对 B 和 C 都做的一层层切面,按相
同体积一一对应(映射)。

因为在相同体积时,C 的流速一定比 B 快,所以任意相对应的(等体积对应)相邻两
切面之间的时间间隔,C 一定比 B 小。

把所有时间间隔加起来求总时间,C 的总时间一定比 B 小。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:如果估算,你需要担心是那个反转点,有没有一种可能,C还没有追上A,A中水已经流
:完了?
x
xuem1
58 楼
有个滞后,也就是说C的横截面积一旦小于A的横截面积,C的速度相对于A开始减小,如果还没有追上,A的速度较C大,A先流完。

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
不可能,C追上A之前,C的流速一直都比A大。C还没流完,A一定不会流完。
t
timefall
59 楼
在这个证明里,用到 “在相同体积时, C 的液面高度最高。”。。。对于这个的心算证明我也 copy paste 过来如下:

【 以下文字转载自 Parenting 讨论区 】
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 17:50:42 2017, 美东)

更强的情况,也就是只要杯子 C 的横切面的面积是高度的递增函数,这个题目就成立
。这么证明:

杯子的 “横切面积对于高度的函数”,是杯子的 “体积对于高度的函数” 的一阶导
数。

所以如果杯子的横切面积是高度的递增函数,那么该杯子的 “体积对于高度的函数的
一阶导数” 是一个递增函数。

而上面也就是说,该杯子的 “体积对于高度的函数的二阶导数” 是一个正实数。

(因为一开始体积和高度相同,最后放完了体积和高度都是零,也相同)然后又回到
“正曲率/无拐点的曲线” 跟 “直线” 相割的情况,或者回到 convex曲线 跟 直线 相割。而最终证明相同体积时,C 杯的液面高度最高。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:你没看我的估算,我的估算根本不是在“等时间点赛跑高速摄影”的角度估算的,根本没有所谓 “反转点” 的概念。我把估算第一部分 copy & paste 过来如下:
t
timefall
60 楼
前面这两个加起来,就心算 QED 了。而且所需要的题目条件,只需要下面这两个更宽
的条件即可:

(1)小孔流速是杯底压强的单调递增函数。

(2)C 杯截面积是该截面高度的单调递增函数。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:在这个证明里,用到 “在相同体积时, C 的液面高度最高。”。。。对于这个的心算证明我也 copy paste 过来如下:
x
xuem1
61 楼
”对于相同的体积时,C 的液面高度一定比 B 高“,不一定,取决于横截面积。
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
你没看我的估算,我的估算根本不是在“等时间点赛跑高速摄影”的角度估算的,根本
没有所谓 “反转点” 的概念。我把估算第一部分 copy & paste 过来如下:
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 22 15:08:25 2017, 美东)
简单小结就是:
对于相同的体积时,C 的液面高度一定比 B 高。
因此对于相同的体积时,C 的流速一定比 B 快。
于是从满杯到空杯,使用同样的 delta-V 步长,对 B 和 C 都做的一层层切面,按相
同体积一一对应(映射)。
...................
x
xuem1
62 楼
也就是说,如果C一直最高,C就是最后一个流干的,和结论完全相反。
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
”对于相同的体积时,C 的液面高度一定比 B 高“,不一定,取决于横截面积。
x
xuem1
63 楼
看图,在拐点之前,C一直最高。
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
也就是说,如果C一直最高,C就是最后一个流干的,和结论完全相反。
t
timefall
64 楼
我前面证明了。前面是证明细节,我这里写一下证明思路便于理解。

这个证明思路,是观察 体积和液面高度的函数关系。

对于 B 杯,体积和液面高度的函数关系是一条直线。

对于 C 杯,体积和液面高度是一条连续的 convex 曲线(因为二阶导数是一个正实数
)。

而 B 杯 和 C 杯的 体积-液面高度曲线,存在两个交点。一个是初始点,高度和液面
体积都相同,一个放完点,体积和液面高度都是零。。。这样就形成 直线 和 convex 曲线相割的情况,前面两个交点就是相割点,这样就不存在第三个交点,而在两割点内,该 convex 曲线永远在直线的右下方。QED。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:”对于相同的体积时,C 的液面高度一定比 B 高“,不一定,取决于横截面积。
:【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
t
timefall
65 楼
你的图的横轴是 t,我前面心算证明 “相同体积时,C 的液面高度最高” 是用的 V-h 图,横轴是高度,纵轴是体积。。。时间在这里不存在,没有过去,无所谓将来。也
可以算是小学追击问题,但区别是不在时间轴上追击。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:看图,在拐点之前,C一直最高。
:【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
x
xuem1
66 楼
convex曲线没错,但交点在哪儿不确定。
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
我前面证明了。前面是证明细节,我这里写一下证明思路便于理解。
这个证明思路,是观察 体积和液面高度的函数关系。
对于 B 杯,体积和液面高度的函数关系是一条直线。
对于 C 杯,体积和液面高度是一条连续的 convex 曲线(因为二阶导数是一个正实数
)。
而 B 杯 和 C 杯的 体积-液面高度曲线,存在两个交点。一个是初始点,高度和液面
体积都相同,一个放完点,体积和液面高度都是零。。。这样就形成 直线 和
convex
曲线相割的情况,前面两个交点就是相割点,这样就不存在第三个交点,而在两割点内
,该 convex 曲线永远在直线的右下方。QED。
:”对于相同的体积时,C 的液面高度一定比 B 高“,不一定,取决于横截面积。
...................
t
timefall
67 楼
其实在证明 “在相同体积时, C 的液面高度最高。” 之后, 可以用微积分的写法继
续写证明(跟前面小学语文写法等价). 我把这个也 copy paste 过来如下:

发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 19:35:02 2017, 美东)

其实也可以直接可以用微积分的表述来写证明。继续如下:

前面证明了相同体积时,C 杯的液面高度最高。

也就是证明了 “液面高度=>体积” 函数,C 杯最大(在任何一个对应的相等的体积点,C 杯液面高度最大)。

因为液面越高,流速越高。所以对于 “流速=>体积” 函数,C 杯最大。

而流速的定义是 “d(体积)/d(时间)”,所以上面的式子就是,对于 “(d(体积)/d(时间)) => 体积” 函数,C 杯在任何一点对大。

因为流速都是正实数,对于流速求倒数(也就是 “d(时间)/d(体积)” ),得到对于 “(d(时间)/d(体积)) => 体积” 函数,C 杯最小。

这样对体积进行定积分一次,得到 C 杯的总时间最小,也就是最先流光。QED。

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
在这个证明里,用到 “在相同体积时, C 的液面高度最高。”。。。对于这个的心算
证明我也 copy paste 过来如下:
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 17:50:42 2017, 美东)
更强的情况,也就是只要杯子 C 的横切面的面积是高度的递增函数,这个题目就成立
。这么证明:
杯子的 “横切面积对于高度的函数”,是杯子的 “体积对于高度的函数” 的一阶导
数。
所以如果杯子的横切面积是高度的递增函数,那么该杯子的 “体积对于高度的函数的
...................
t
timefall
68 楼
高中解析几何说: V-h 曲线的交点, 就是对于 B 和 C, V 和 h 都相等的点.

所以 V=0, h=0 是第一个交点.

然后如果初始时的高度是 h0, 初始是的体积是 V0, 那么 V=V0, h=h0 是第二个交点.

这玩意儿非常显而易见, 高中解析几何的前导课程. 这里思考的关键是要忘掉时间轴, 时间不存在. 否则时间轴总是会过来干扰人的解析几何直觉.

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
convex曲线没错,但交点在哪儿不确定。
x
xuem1
69 楼
这样吧,你说哪个最先流到一半高度?
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
其实在证明 “在相同体积时, C 的液面高度最高。” 之后, 可以用微积分的写法继
续写证明(跟前面小学语文写法等价). 我把这个也 copy paste 过来如下:
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 19:35:02 2017, 美东)
其实也可以直接可以用微积分的表述来写证明。继续如下:
前面证明了相同体积时,C 杯的液面高度最高。
也就是证明了 “液面高度=>体积” 函数,C 杯最大(在任何一个对应的相等的体积点
,C 杯液面高度最大)。
因为液面越高,流速越高。所以对于 “流速=>体积” 函数,C 杯最大。
...................
t
timefall
70 楼
另外如果从小学语文表述来看, 你看写的时候, 总是说 "初始时".

这个"时"就是语文对数学的干扰... 因为对于这题而言, 这个 V0 h0 是指 "初始条件", 这个并不一定是要约束在时间轴上的初始条件... 也就是说, 实际上是 "初始点" 而不是 "初始时", 而这个 "初始点" 的 "点", 不要看成空间上的 "点", 而是 V-h 平面上的一个点... 而该 V-h 平面, 是 V-h-t 时空连续统里的一个切面.

【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
高中解析几何说: V-h 曲线的交点, 就是对于 B 和 C, V 和 h 都相等的点.
所以 V=0, h=0 是第一个交点.
然后如果初始时的高度是 h0, 初始是的体积是 V0, 那么 V=V0, h=h0 是第二个交点.
这玩意儿非常显而易见, 高中解析几何的前导课程. 这里思考的关键是要忘掉时间轴,
时间不存在. 否则时间轴总是会过来干扰人的解析几何直觉.
l
llaalways
71 楼
你仔细看看我的回帖。
在A比C先流完之前,A是不是需要有段时间通过小孔的流速大于C呢?
C还没赶上A之前,A的小孔中的流速会在什么时候会大于C呢?
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
有个滞后,也就是说C的横截面积一旦小于A的横截面积,C的速度相对于A开始减小,如
果还没有追上,A的速度较C大,A先流完。
t
timefall
72 楼
我不知道谁先流到一半高度, 但我还是能证明. 因为我知道谁先流到一半体积(C 先到).

或者我这么说, 你没有在概念上理解我的证明的 proof path. 在概念上, 我的证明是
基于从 V-h-t 时空连续统的角度看, 然后保持不等号在证明区间里不变.

具体而言, 这整个过程发生在 V-h-t 时空连续统里面.

而流速 v 是 dV/dt, 也就是体积对时间的微分.

在 V-h 切面, V 和 h 存在不等号(对于相同的 h, V_C 永远大于等于 V_B).

在 v-h 切面, 也就是 dV/dt 对 h 的切面, 存在单调性. 也就是 h 越大, dV/dt (流
速)就越大 (BTW: 这个切面是一阶导数空间上的切面).

而因为不等号的传递性, 可证明对于相同的 V, dV_C/dt 永远大于 dV_B/dt.

然后因为正实数的倒数的不等号关系 (1/x, x>0), 可以知道对于相同的 V, dt/dV_C
永远小于 dt/dV_B.

然后这里反过来, 不是体积对时间的积分, 而是时间对体积的积分. (不就是黑洞和白
洞互为时间反演一下么?). 而体积的积分区间相同, 时间的积分就是总时间, 所以就
QED.

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
这样吧,你说哪个最先流到一半高度?
x
xuem1
73 楼
在赶上A之前,过了一半高度,C的速度减少就会多于A的速度的减少,有一种情况是:C还没有赶上A,A的流速就大于C了。
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
你仔细看看我的回帖。
在A比C先流完之前,A是不是需要有段时间通过小孔的流速大于C呢?
如果C还没赶上A之前,A的小孔中的流速会在什么时候会大于C呢?
t
timefall
74 楼
对称宇宙论

另一半的时间和空间
一个相反的世界
无法逾越

唯有的连接
是一对对的奇点
黑洞一边 白洞一边
互为 -- 时间反演

而穿越的物质
被洗去了过去的一切
没有例外
只要 -- 穿过藐视物理定律的奇点

我不要喝了孟婆汤的感觉

于是徘徊在黑洞的视界
看心的碎片 -- 消逝
明知心绪越不过奇点
无人诉说落寞的心弦

于是徘徊在白洞的视界
看炙热的物质 -- 迸发
却成为毫无意义的星星点点
l
llaalways
75 楼
我说的流速是小孔流速。不是液面下降的速度。
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
在赶上A之前,过了一半高度,C的速度减少就会多于A的速度的减少,有一种情况是
:C
还没有赶上A,A的流速就大于C了。
l
llaalways
76 楼
小孔流速跟水位正相关。水位越高,流速越大。
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
我说的流速是小孔流速。不是液面下降的速度。
:C
x
xuem1
77 楼
看看流速和时间关系图:

【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
在赶上A之前,过了一半高度,C的速度减少就会多于A的速度的减少,有一种情况是
:C
还没有赶上A,A的流速就大于C了。
l
llaalways
78 楼
你知道流速交叉的地方也是水位交叉的地方吗?
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
看看流速和时间关系图:
:C
x
xuem1
79 楼
我一直以为,在拐点后,C的流速应该不会比A小,实际是C的流速小但剩余的体积小,
所以时间短。
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
看看流速和时间关系图:
:C
x
xuem1
80 楼
不见得
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
你知道流速交叉的地方也是水位交叉的地方吗?
t
timefall
81 楼
你的所有的 2-D 图里面都有那个时间轴。

但这题里面,体积和流速和高度,不是完全独立变量。你得摆脱时间轴的限制。。。如果一定要 plot 出来看的话,你先 plot 一下 V-h-t 的 3D plot,然后把那张 plot
对时间偏微分一次,得到 v-h-t 的 3D plot,然后两张 plot 对着一起看。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:看看流速和时间关系图:
t
timefall
82 楼
流速相等的话,水位一定相等。。。因为流速是水位的单调递增函数。

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:不见得
:【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
x
xuem1
83 楼
画个2D都快累死人了。
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
你的所有的 2-D 图里面都有那个时间轴。
但这题里面,体积和流速和高度,不是完全独立变量。你得摆脱时间轴的限制。。。如
果一定要 plot 出来看的话,你先 plot 一下 V-h-t 的 3D plot,然后把那张 plot
对时间偏微分一次,得到 v-h-t 的 3D plot,然后两张 plot 对着一起看。
:看看流速和时间关系图:
t
timefall
84 楼
这说明为啥马工行当需要人脑,目前还是人脑比电脑聪明。。。人脑当然无法把这种维度的每一个点都 plot 一下,但是佳能无敌兔电脑不管咔嚓几个 million 点,但一直
都还是脸盲没跑不是?

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:画个2D都快累死人了。
:【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
l
llaalways
85 楼
我只是问你知道不知道。
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
不见得
x
xuem1
86 楼
对,流速一样,水位一定相等
【 在 timefall (时光崩塌) 的大作中提到: 】
流速相等的话,水位一定相等。。。因为流速是水位的单调递增函数。
:不见得
: :【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
x
xuem1
87 楼
也就是说,存在有一点,相同时间,相同水位,相通的流速。
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
对,流速一样,水位一定相等
t
timefall
88 楼
属实。

但我说的是 B 和 C 在 体积-液面高度( V-h )切面图上无交点(除了起始点和结束
点)。这跟你说的不矛盾啊。因为我这个上面没有时间轴的,你要按日常经验想象的话,也得想象在一个时间不存在的世界里过日子的日常经验。

另外你们为啥这么喜欢拐来拐去的点嘛。。。求证不等式不是 convex 更简单直接不是?

【在 xuem1(sena)的大作中提到:】
:也就是说,存在有一点,相同时间,相同水位,相通的流速。
:【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
t
timefall
89 楼
接下来就是 B 和 C 在 体积 - 流速 ( V - v ) 图上无交点。

因为流速 v 是体积 V 对时间 t 的偏微分,所以这个就是 B 和 C 在 “(dV/dt) 对于 V” 的图上没有交点,于是得出对于 B 和 C 在 “(dV/dt) 对于 V” 的切面图上的不等式关系。

然后你从(对时间的)偏微分空间转回正常空间,时间轴 t 就自动又跳出来了(我为
啥说 “又” 呢?)。这个转换只要积分一次即可。唯一的技术 trick 就是反过来,
用时间对空间(V)进行积分,求总时间的不等式关系。。。或者通俗的说就是:把时
间轴当 y 轴,而不是通常的把时间轴当 x 轴的做法。

【在 timefall(时光崩塌)的大作中提到:】
:属实。
l
llaalways
90 楼
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
在压力分析时忽略上面桶内流动,这样桶底内壁的压力为1 大气压+gdh。
g为重力加速度,d为水约密度,h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K-1。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。
有了这个关系可以证明C桶最快。新的证明在85楼。
证明很复杂,但定性的说明很简单:
流速跟压差正相关,压差跟上面桶里水位正相关。
...................
x
xuem1
91 楼
非常好的结果,只是在开始求体积V(h)时,分母是3.

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
x
xuem1
92 楼
你用整个水的体积对高度求导,我用dh高度的体积,结果一摸一样。
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
l
llaalways
93 楼
分母是3, 有什么问题吗?
【 在 xuem1 (sena) 的大作中提到: 】
非常好的结果,只是在开始求体积V(h)时,分母是3.
x
xuem1
94 楼
没啥问题。
【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
分母是3, 有什么问题吗?
r
reknaz
95 楼
谢谢更新。这次的参数 gamma 和我最初推导时候的参数选择一致,所以我得到的体积
公式和你的一样,再往后我就没时间折腾积分了。

这个详细推导虽然对这道题有些“大材小用”,但却适合扩展到一般情形。比如如果形状 A 改成 原来的 C 和 A 上下相接,B 改成 原来高度两倍,C 改成原来的 C上面摞
个原来的 A,定性上就难判断得多,不计算恐怕不行了。

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
H
Huangchong
96 楼
牛叉

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
H
Huangchong
97 楼
可以扩大到倒锥体(漏斗)的情况么

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
H
Huangchong
98 楼
哦 gamma无穷大的时候就是漏斗 gamma是-1的时候就是椎体

所以跟柱体需要的时间比 漏斗是2/5的时间 椎体是1.6倍的时间

【 在 llaalways (熊大) 的大作中提到: 】
H
Huangchong
99 楼
漏斗还是略有些问题 比如A是0
不过似乎把A定义为上顶面积 gamma的定义 体积公式 也相应改改就可以了

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
哦 gamma无穷大的时候就是漏斗 gamma是-1的时候就是椎体
所以跟柱体需要的时间比 漏斗是2/5的时间 椎体是1.6倍的时间
l
llaalways
100 楼
A不是底面积。A是平均面积,也就是柱形桶的底面积。

【 在 Huangchong (净坛使者) 的大作中提到: 】
漏斗还是略有些问题 比如A是0