大概看懂了你的推导。我曾判断 s 是个描述形状的参数,比如圆台上下半径差对其中 一个半径的比值,现在看来你取的是斜率。你第二行使用的是出水速度和高度的线性关系,虽然结果类似,但还是改一下比较好。另外,你式子里的 p 和 q 应该只是参数,但物理里 p 有特殊含义,因为你不是每个参数都标注十分清楚,建议不要用 p 这种有特殊含义的符号。你的思路是先定义一个描述形状的参数,由此通过所剩水的体积和水的体积变化给出水面高度和时间的关系的微分表达式,然后积分得到时间对于形状参数的依赖关系。我没有精力验算你的全部推导过程,但这个思路我认为应该是对的,关键是这里参数 s 有多种选法,但选得合适才能得到比较简练的所剩水体积的表达式。
这次步骤清楚多了,虽然我顾不过来验证每一步的数学推导(我总体上比较 trust 你 的推导)了。这题的一点点物理就是判断能否使用 rbs 给的关系式,其它其实就是数 学了。你的定性解释,有一个关键是 A 液面有高的时候,所以总体上 C 平均流速快这个说法并不严格。这个定性解释也可以有不涉及公式的严格证明,思路是当 C 的液面 降到和 A 持平时候,将 C 和 A 的一部分比较,通过 C 快于 A 的一部分,而 A 的一部分快于 A 的整体来定性证明。这里如何选取这个 A 的一部分就相当于几何里的添加辅助线,相当关键。
【 在 reknaz (拖把套) 的大作中提到: 】 这次步骤清楚多了,虽然我顾不过来验证每一步的数学推导(我总体上比较 trust 你 的推导)了。这题的一点点物理就是判断能否使用 rbs 给的关系式,其它其实就是数 学了。你的定性解释,有一个关键是 A 液面有高的时候,所以总体上 C 平均流速快这 个说法并不严格。这个定性解释也可以有不涉及公式的严格证明,思路是当 C 的液面 降到和 A 持平时候,将 C 和 A 的一部分比较,通过 C 快于 A 的一部分,而 A 的一 部分快于 A 的整体来定性证明。这里如何选取这个 A 的一部分就相当于几何里的添加 辅助线,相当关键。
g为重力加速度,d为水约密度,h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K-1。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
就是流速和上面桶内水的高度的平方根有一个线性关系。
有了这个关系可以证明C桶最快。新的证明在85楼。
证明很复杂,但定性的说明很简单:
流速跟压差正相关,压差跟上面桶里水位正相关。
开始的时候,液面一样,压差一样,流速一样。
可是C的液面下降最慢,因此在开始后的一段时间里C的流速最快。
随着时间推进,C的液面下降越来越快。最后C的液面会低于A,B。
流速也较低,但这时C里的水剩下最少。
所以在整过过程中,C的平均流速一直最快。
式表示?A是和s相关的么?
其实不需要线性关系,只要是单调关系就行。
但用线性关系比较容易证明。
应该只懂第一句话
过下面的小孔的速度
推导很不容易看明白主要是因为很多参数或变量没有事先清楚地定义,直接就放公式里了,比如 s,A 等等。
我前两天简单算了下,没有算完全,时间对速度(高度)的函数是凸还是凹跟里面这些常数大小有关系,应该没错吧
一个半径的比值,现在看来你取的是斜率。你第二行使用的是出水速度和高度的线性关系,虽然结果类似,但还是改一下比较好。另外,你式子里的 p 和 q 应该只是参数,但物理里 p 有特殊含义,因为你不是每个参数都标注十分清楚,建议不要用 p 这种有特殊含义的符号。你的思路是先定义一个描述形状的参数,由此通过所剩水的体积和水的体积变化给出水面高度和时间的关系的微分表达式,然后积分得到时间对于形状参数的依赖关系。我没有精力验算你的全部推导过程,但这个思路我认为应该是对的,关键是这里参数 s 有多种选法,但选得合适才能得到比较简练的所剩水体积的表达式。
修改后的证明在32楼。
g为重力加速度,d为水约密度,h为桶内水面高度。
而桶外的压力为1大 气压。所以小孔内外的压差为gdh.
如果三桶的小孔阻压系数一样,均为K-1。
则流速满足1/2*K*d*v*v=gdh
v=sqrt(2gh/K)
有普遍意义(因为现实里流体被各种阻碍就得到这种关系)。也就是说只要流速和压强存在正相关就得到同样的结论。
的推导)了。这题的一点点物理就是判断能否使用 rbs 给的关系式,其它其实就是数
学了。你的定性解释,有一个关键是 A 液面有高的时候,所以总体上 C 平均流速快这个说法并不严格。这个定性解释也可以有不涉及公式的严格证明,思路是当 C 的液面
降到和 A 持平时候,将 C 和 A 的一部分比较,通过 C 快于 A 的一部分,而 A 的一部分快于 A 的整体来定性证明。这里如何选取这个 A 的一部分就相当于几何里的添加辅助线,相当关键。
当C的液面赶上A时, C和A有相同的高度,相同的流速。后面那个液面下降得快,应该
很少争议。
因为C-cup最好看
设高h0,上表面半径r1,下表面半径r2,圆柱半径为r^2=(r1^2+r2^2+r1r2)/3, let a=(r2-r1)/h0
当液面处于h高度时,有:
A: dv=Pi*(r1^2+a^2(h0-h)^2+2r1(h0-h)a)dh
B: dv=Pi*r^2dh
C: dv=Pi*(r1^2+h^2a^2+2r1a)
上楼说的:dv/dt=Ah^0.5
有:
A:f1(ho)-(2r1^2+4r1a+2h0^2a^2)h^0.5+0.4h^2.5a^2-(4/3r1a+4/3h0a^2)h^1.5=Ct
B: 2r^2(h0^0.5-h^0.5)=CT
C:f2(h0)-(2r1^2h^0.5+4/3*h^1.5a+0.4h^2.5a^2)=Ct
如果r1=1,r2=2,ho=1,如下图:
完了?
【 以下文字转载自 Parenting 讨论区 】
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Wed Mar 22 15:08:25 2017, 美东)
简单小结就是:
对于相同的体积时,C 的液面高度一定比 B 高。
因此对于相同的体积时,C 的流速一定比 B 快。
于是从满杯到空杯,使用同样的 delta-V 步长,对 B 和 C 都做的一层层切面,按相
同体积一一对应(映射)。
因为在相同体积时,C 的流速一定比 B 快,所以任意相对应的(等体积对应)相邻两
切面之间的时间间隔,C 一定比 B 小。
把所有时间间隔加起来求总时间,C 的总时间一定比 B 小。
【 以下文字转载自 Parenting 讨论区 】
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 17:50:42 2017, 美东)
更强的情况,也就是只要杯子 C 的横切面的面积是高度的递增函数,这个题目就成立
。这么证明:
杯子的 “横切面积对于高度的函数”,是杯子的 “体积对于高度的函数” 的一阶导
数。
所以如果杯子的横切面积是高度的递增函数,那么该杯子的 “体积对于高度的函数的
一阶导数” 是一个递增函数。
而上面也就是说,该杯子的 “体积对于高度的函数的二阶导数” 是一个正实数。
(因为一开始体积和高度相同,最后放完了体积和高度都是零,也相同)然后又回到
“正曲率/无拐点的曲线” 跟 “直线” 相割的情况,或者回到 convex曲线 跟 直线 相割。而最终证明相同体积时,C 杯的液面高度最高。
的条件即可:
(1)小孔流速是杯底压强的单调递增函数。
(2)C 杯截面积是该截面高度的单调递增函数。
这个证明思路,是观察 体积和液面高度的函数关系。
对于 B 杯,体积和液面高度的函数关系是一条直线。
对于 C 杯,体积和液面高度是一条连续的 convex 曲线(因为二阶导数是一个正实数
)。
而 B 杯 和 C 杯的 体积-液面高度曲线,存在两个交点。一个是初始点,高度和液面
体积都相同,一个放完点,体积和液面高度都是零。。。这样就形成 直线 和 convex 曲线相割的情况,前面两个交点就是相割点,这样就不存在第三个交点,而在两割点内,该 convex 曲线永远在直线的右下方。QED。
可以算是小学追击问题,但区别是不在时间轴上追击。
续写证明(跟前面小学语文写法等价). 我把这个也 copy paste 过来如下:
发信人: timefall (时光崩塌), 信区: Parenting
标 题: Re: 来道物理题
发信站: BBS 未名空间站 (Fri Mar 24 19:35:02 2017, 美东)
其实也可以直接可以用微积分的表述来写证明。继续如下:
前面证明了相同体积时,C 杯的液面高度最高。
也就是证明了 “液面高度=>体积” 函数,C 杯最大(在任何一个对应的相等的体积点,C 杯液面高度最大)。
因为液面越高,流速越高。所以对于 “流速=>体积” 函数,C 杯最大。
而流速的定义是 “d(体积)/d(时间)”,所以上面的式子就是,对于 “(d(体积)/d(时间)) => 体积” 函数,C 杯在任何一点对大。
因为流速都是正实数,对于流速求倒数(也就是 “d(时间)/d(体积)” ),得到对于 “(d(时间)/d(体积)) => 体积” 函数,C 杯最小。
这样对体积进行定积分一次,得到 C 杯的总时间最小,也就是最先流光。QED。
所以 V=0, h=0 是第一个交点.
然后如果初始时的高度是 h0, 初始是的体积是 V0, 那么 V=V0, h=h0 是第二个交点.
这玩意儿非常显而易见, 高中解析几何的前导课程. 这里思考的关键是要忘掉时间轴, 时间不存在. 否则时间轴总是会过来干扰人的解析几何直觉.
这个"时"就是语文对数学的干扰... 因为对于这题而言, 这个 V0 h0 是指 "初始条件", 这个并不一定是要约束在时间轴上的初始条件... 也就是说, 实际上是 "初始点" 而不是 "初始时", 而这个 "初始点" 的 "点", 不要看成空间上的 "点", 而是 V-h 平面上的一个点... 而该 V-h 平面, 是 V-h-t 时空连续统里的一个切面.
在A比C先流完之前,A是不是需要有段时间通过小孔的流速大于C呢?
C还没赶上A之前,A的小孔中的流速会在什么时候会大于C呢?
或者我这么说, 你没有在概念上理解我的证明的 proof path. 在概念上, 我的证明是
基于从 V-h-t 时空连续统的角度看, 然后保持不等号在证明区间里不变.
具体而言, 这整个过程发生在 V-h-t 时空连续统里面.
而流速 v 是 dV/dt, 也就是体积对时间的微分.
在 V-h 切面, V 和 h 存在不等号(对于相同的 h, V_C 永远大于等于 V_B).
在 v-h 切面, 也就是 dV/dt 对 h 的切面, 存在单调性. 也就是 h 越大, dV/dt (流
速)就越大 (BTW: 这个切面是一阶导数空间上的切面).
而因为不等号的传递性, 可证明对于相同的 V, dV_C/dt 永远大于 dV_B/dt.
然后因为正实数的倒数的不等号关系 (1/x, x>0), 可以知道对于相同的 V, dt/dV_C
永远小于 dt/dV_B.
然后这里反过来, 不是体积对时间的积分, 而是时间对体积的积分. (不就是黑洞和白
洞互为时间反演一下么?). 而体积的积分区间相同, 时间的积分就是总时间, 所以就
QED.
另一半的时间和空间
一个相反的世界
无法逾越
唯有的连接
是一对对的奇点
黑洞一边 白洞一边
互为 -- 时间反演
而穿越的物质
被洗去了过去的一切
没有例外
只要 -- 穿过藐视物理定律的奇点
我不要喝了孟婆汤的感觉
于是徘徊在黑洞的视界
看心的碎片 -- 消逝
明知心绪越不过奇点
无人诉说落寞的心弦
于是徘徊在白洞的视界
看炙热的物质 -- 迸发
却成为毫无意义的星星点点
所以时间短。
但这题里面,体积和流速和高度,不是完全独立变量。你得摆脱时间轴的限制。。。如果一定要 plot 出来看的话,你先 plot 一下 V-h-t 的 3D plot,然后把那张 plot
对时间偏微分一次,得到 v-h-t 的 3D plot,然后两张 plot 对着一起看。
都还是脸盲没跑不是?
但我说的是 B 和 C 在 体积-液面高度( V-h )切面图上无交点(除了起始点和结束
点)。这跟你说的不矛盾啊。因为我这个上面没有时间轴的,你要按日常经验想象的话,也得想象在一个时间不存在的世界里过日子的日常经验。
另外你们为啥这么喜欢拐来拐去的点嘛。。。求证不等式不是 convex 更简单直接不是?
因为流速 v 是体积 V 对时间 t 的偏微分,所以这个就是 B 和 C 在 “(dV/dt) 对于 V” 的图上没有交点,于是得出对于 B 和 C 在 “(dV/dt) 对于 V” 的切面图上的不等式关系。
然后你从(对时间的)偏微分空间转回正常空间,时间轴 t 就自动又跳出来了(我为
啥说 “又” 呢?)。这个转换只要积分一次即可。唯一的技术 trick 就是反过来,
用时间对空间(V)进行积分,求总时间的不等式关系。。。或者通俗的说就是:把时
间轴当 y 轴,而不是通常的把时间轴当 x 轴的做法。
公式和你的一样,再往后我就没时间折腾积分了。
这个详细推导虽然对这道题有些“大材小用”,但却适合扩展到一般情形。比如如果形状 A 改成 原来的 C 和 A 上下相接,B 改成 原来高度两倍,C 改成原来的 C上面摞
个原来的 A,定性上就难判断得多,不计算恐怕不行了。
所以跟柱体需要的时间比 漏斗是2/5的时间 椎体是1.6倍的时间
不过似乎把A定义为上顶面积 gamma的定义 体积公式 也相应改改就可以了