中国古代的组合数学：从河图洛书到纵横图

组合数学是研究数字，图形等离散对象的数学，包括组合计数，组合设计，组合优化等等。中国的组合学源远流长，太极八卦和河图洛书，是人类历史上最早的组合学。中国古典数学在组合数学方面的成就，处于世界领先地位。组合数学也可认为是智力游戏，其特点是难难难！很容易出个题让人摸不着头脑。但是随着计算机和信息通讯技术的发展，这些数字游戏正在发挥意想不到的巨大作用。其实，数学的其它一些分支，又何尝不是游戏呢？（举个例子：孪生素数猜想，证明它有什么用？）另一方面，游戏也有规则，Wikipedia上印度人吹嘘的数几个数字，也叫组合学，则是笑话，不可当真。

太极八卦和河图洛书，是华夏先民的伟大创造，有几千年甚至上万年的历史。因其历史过于久远，传说色彩浓重，发明者难以考证（这里不谈传说，只关心数学）。阴阳八卦是一个二进制的组合问题，最迟在公元一千多年前就已出现，最著名的故事是文王演八卦（现被棒子窃取拿去做国旗）。河图洛书在《尚书》和《易经》均有记载， 20世纪
的多项考古发现，如安徽含山出土玉龟上刻的洛书，将其历史上推至五千到一万年前。洛书是一个三阶幻方，即三纵三横的方阵，用1到9九个数字填满，纵/横/对角三个数之和均为15。毫不夸张地说，洛书是组合设计的鼻祖。

南宋杰出的数学家杨辉的纵横图是中国古代组合数学的巅峰之作。杨辉将洛书的三阶幻方推广，给出了四阶到十阶的幻方（很明显其方法适用于任意阶）。十阶幻方叫作百子图，纵横之和都是550。更为神奇的是，杨辉还作出了史无前例的幻圆。如所谓攒九图
（图中印刷有误，32出现了两次），四个圆环（加上中心的9），四条对角线之和均为
147。在其著作《续古摘奇算法》中还有各种各样不可思议的纵横图。

北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中介绍了唐朝僧一行曾计算棋局都数。围棋有19纵，19横，19x19=361，所以总共棋局都数是3^361。沈括算出这个数约为10000^52（不要以为古代没有指数，当时的写法是“连书万字五十二”）。其实沈括计算有误，大约应为10000^42。不过当时做这个计算实属不易，可能他用算盘或算筹算了好几天（今天的我们也不要因为有了电脑或计算器而沾沾自喜）。此外表中还有一个小错，读者很容易看出。

北宋数学家贾宪最早提出了二项式展开系数三角形，比所谓的Pascal三角早六百多年。又称杨辉三角，其实杨辉明确指出是贾宪先用的。杨辉的另一项成就是数列求和，包括等差数列和等比数列等。

同时代的数学家丁易东在著作《大衍索隐》中对纵横图的构造又有进一步发展。

最后，欢迎批评补充，谢绝恶意攻击。

中国古代数学包括科技的问题，版上刚有人总结过：

“中国古代算术和其他很多东西一样，都是偶尔有一两个亮点，最后全是孤岛，无法形成任何体系”

你在故纸堆里挖来挖去，找到点东西，就像祥林嫂一样叨叨个没完，尽管并非真的是你找到的。可惜你再辛苦也无法改变上面的这个结论。

这里没有人要否定中国古代数学在个别领域取得过那么点领先世界的成就，所以拜托你说点大家还不知道的，足以改变大家对中国古代数学整体认识，行吗？

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 同时代的数学家丁易东在著作《大衍索隐》中对纵横图的构造又有进一步发展。
: 最后，欢迎批评补充，谢绝恶意攻击。

说没有体系也是扯淡，中国明明是有自己的一套体系，吴文俊总结的很好啊，完成了实数系的扩展和算法加减乘除，开方，指数等运算的构建。没有体系，你能搞出割圆术，二项式定理么？

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 中国古代数学包括科技的问题，版上刚有人总结过：
: “中国古代算术和其他很多东西一样，都是偶尔有一两个亮点，最后全是孤岛，无法形
: 成任何体系”
: 你在故纸堆里挖来挖去，找到点东西，就像祥林嫂一样叨叨个没完，尽管并非真的是你
: 找到的。可惜你再辛苦也无法改变上面的这个结论。
: 这里没有人要否定中国古代数学在个别领域取得过那么点领先世界的成就，所以拜托你
: 说点大家还不知道的，足以改变大家对中国古代数学整体认识，行吗？

这里默认指成功有效的体系。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 说没有体系也是扯淡，中国明明是有自己的一套体系，吴文俊总结的很好啊，完成了实
: 数系的扩展和算法加减乘除，开方，指数等运算的构建。没有体系，你能搞出割圆术，
: 二项式定理么？

以中国的大一统状态，全国性的户籍记录，人力资源管理

计算方面发展的土壤，应该还是很丰厚的

这些怎么不算成功有效

可以说是在近代缺乏了进一步的拓展

没有必要否认前面的成果

[在 novawt (novawt) 的大作中提到：]
:这里默认指成功有效的体系。

洛书是个幻方，河图又代表什么？哪位高人知道？

属实。如果西方文明灭绝了，不能否定牛顿莱布尼茨开创的是成功的体系。

【 在 stillearning (继续长见识) 的大作中提到: 】
: 这些怎么不算成功有效
: 可以说是在近代缺乏了进一步的拓展
: 没有必要否认前面的成果
: [在 novawt (novawt) 的大作中提到：]
: :这里默认指成功有效的体系。

你跟个选择性失明的人说世界是光明的这不扯淡吗？

当然如果说这些已经比较成体系的数学理论没有得到很好的完善总结继承发扬推而广之、没有让所有人从私塾里开始就学习、科举考试没有数学卷子，我是赞同的。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 说没有体系也是扯淡，中国明明是有自己的一套体系，吴文俊总结的很好啊，完成了实
: 数系的扩展和算法加减乘除，开方，指数等运算的构建。没有体系，你能搞出割圆术，
: 二项式定理么？

一点业余爱好而已，大家不必较真。

唐朝的科举是有算学科的，就是说，如果某人数学好，是可以考数学专业的。
到宋朝取消了，之后就走下坡路了。

【 在 liftway (liftway) 的大作中提到: 】
: 你跟个选择性失明的人说世界是光明的这不扯淡吗？
: 当然如果说这些已经比较成体系的数学理论没有得到很好的完善总结继承发扬推而广之
: 、没有让所有人从私塾里开始就学习、科举考试没有数学卷子，我是赞同的。

属实。宋以后打仗越来越不行，应该也是类似美帝自废武功，理工科大家都不学有很大关系，士兵到军官的算学知识都不行，也缺乏专业技术军士，这东西文科生主导的历史记录不会怎么写。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 一点业余爱好而已，大家不必较真。
: 唐朝的科举是有算学科的，就是说，如果某人数学好，是可以考数学专业的。
: 到宋朝取消了，之后就走下坡路了。

是。秦九韶的《数书九章》里，有专门章节讲军事，即测量距离高度军营大小等，可看出算学很有用。

这与他的抗元经历有关。可这样一位英雄人物，在史书中却被写得一塌糊涂，可能是得罪了投降派。
其实也没什么大事，无非是说他结交富豪，建造豪宅（兴许也是夸张的）。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 属实。宋以后打仗越来越不行，应该也是类似美帝自废武功，理工科大家都不学有很大
: 关系，士兵到军官的算学知识都不行，也缺乏专业技术军士，这东西文科生主导的历史
: 记录不会怎么写。

中国古代数学传统就是算法路径。算法就是计算，就是推理，跟公理化等价。你知道构造数学或者反推数学吗？
【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 这里默认指成功有效的体系。

这个推测是合理的。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 属实。宋以后打仗越来越不行，应该也是类似美帝自废武功，理工科大家都不学有很大
: 关系，士兵到军官的算学知识都不行，也缺乏专业技术军士，这东西文科生主导的历史
: 记录不会怎么写。

中国古人在搞你所谓“算法路径”的时候，知道存在公理体系这回事吗？如果不知道的话，谈得上什么等不等价？中国古人根本就是别无选择地依赖直觉行事呗，看个人天份和造化了，所以最终就是之前有人提到的偶有亮点，全是孤岛。

【 在 ReedToBe (ReedToBe) 的大作中提到: 】
: 中国古代数学传统就是算法路径。算法就是计算，就是推理，跟公理化等价。你知道构
: 造数学或者反推数学吗？

不可否认欧几里得是个大牛人，我一直认为他的最主要贡献不是几何本身，而是公理体系，因为平面几何实在算不上复杂，他不搞也总有人会搞明白。
但是由此否定中国古代的数学成就就太妄自菲薄了。中国数学落后是在近代，而不是古代；至少在战国两汉期间，中国的数学成就即使不能说是世界领先，也不能说是落后的。
即使是西方，从欧几里得，到牛顿这快两千年的世界，除了平面几何以外还创造了哪个“公理体系”了？即使是哥白尼伽利略，按照你的说法不也是依赖直觉行事，东一榔头西一棒子？

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 中国古人在搞你所谓“算法路径”的时候，知道存在公理体系这回事吗？如果不知道的
: 话，谈得上什么等不等价？中国古人根本就是别无选择地依赖直觉行事呗，看个人天份
: 和造化了，所以最终就是之前有人提到的偶有亮点，全是孤岛。

你这个逻辑稍微弱了点。两个方法等价，不一定需要两个方法都知道才行。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 中国古人在搞你所谓“算法路径”的时候，知道存在公理体系这回事吗？如果不知道的
: 话，谈得上什么等不等价？中国古人根本就是别无选择地依赖直觉行事呗，看个人天份
: 和造化了，所以最终就是之前有人提到的偶有亮点，全是孤岛。

属实。牛顿以前公理体系在西方也不是主流，没有吹捧到那么高。因为数学还是比较直观的，搞个公理体系反而让人觉得脱裤子放屁。牛顿写自然哲学，主要还用平面几何推导而不是微积分，用的平面几何很复杂，所以也写成公理体系形式。后来微积分的应用，大家发现这东西已经严重远离直观思维，很多东西不写清楚实在没法讨论，错误和质疑太多，感觉很不可靠，才不得不重新重视公理体系。现代数学就更加远离直观了，所以更不能离开公理体系。

按版上将军的说法，计算先行，到了一定的复杂度，必然会催生公理体系。即便没有古希腊的公理体系，到了微积分时代也会被倒逼搞出公理体系。古希腊公理体系出现的不合常理，所以版上有些将军质疑伪造。

【 在 HALO3 (master chief) 的大作中提到: 】
: 不可否认欧几里得是个大牛人，我一直认为他的最主要贡献不是几何本身，而是公理体
: 系，因为平面几何实在算不上复杂，他不搞也总有人会搞明白。
: 但是由此否定中国古代的数学成就就太妄自菲薄了。中国数学落后是在近代，而不是古
: 代；至少在战国两汉期间，中国的数学成就即使不能说是世界领先，也不能说是落后的。
: 即使是西方，从欧几里得，到牛顿这快两千年的世界，除了平面几何以外还创造了哪个
: “公理体系”了？即使是哥白尼伽利略，按照你的说法不也是依赖直觉行事，东一榔头
: 西一棒子？

公理体系的最大作用有点类似于万有引力的发现，就是发现纷繁复杂的现象原来可以
reduce成一个十分简单的出发点，对人类有点醍醐灌顶天启神示的感觉

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 属实。牛顿以前公理体系在西方也不是主流，没有吹捧到那么高。因为数学还是比较直
: 观的，搞个公理体系反而让人觉得脱裤子放屁。牛顿写自然哲学，主要还用平面几何推
: 导而不是微积分，用的平面几何很复杂，所以也写成公理体系形式。后来微积分的应用
: ，大家发现这东西已经严重远离直观思维，很多东西不写清楚实在没法讨论，错误和质
: 疑太多，感觉很不可靠，才不得不重新重视公理体系。现代数学就更加远离直观了，所
: 以更不能离开公理体系。
: 按版上将军的说法，计算先行，到了一定的复杂度，必然会催生公理体系。即便没有古
: 希腊的公理体系，到了微积分时代也会被倒逼搞出公理体系。古希腊公理体系出现的不
: 合常理，所以版上有些将军质疑伪造。
: 的。

好吧，我说的重点是中国古人依直觉行事，并没有积极地构造数学理论的意识。无论公理体系还是算法路径，目的都是要最终建立一套理论，而不是像中国古代数学那样，给出一些具体数学问题，也就是特例，没有证明，也就谈不上这种方法是否普遍适用，自然也就基本上没有啥理论产生。

【 在 TheMatrix (TheMatrix) 的大作中提到: 】
: 你这个逻辑稍微弱了点。两个方法等价，不一定需要两个方法都知道才行。

日心说和地心说本身就是两大对立的公理体系，哥白尼和伽利略的工作在当时是有充分针对性的，怎么能说是东一榔头西一棒槌呢？

【 在 HALO3 (master chief) 的大作中提到: 】
: 不可否认欧几里得是个大牛人，我一直认为他的最主要贡献不是几何本身，而是公理体
: 系，因为平面几何实在算不上复杂，他不搞也总有人会搞明白。
: 但是由此否定中国古代的数学成就就太妄自菲薄了。中国数学落后是在近代，而不是古
: 代；至少在战国两汉期间，中国的数学成就即使不能说是世界领先，也不能说是落后的。
: 即使是西方，从欧几里得，到牛顿这快两千年的世界，除了平面几何以外还创造了哪个
: “公理体系”了？即使是哥白尼伽利略，按照你的说法不也是依赖直觉行事，东一榔头
: 西一棒子？

属实。我觉得这才摸到科学发展的脉搏了。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 属实。牛顿以前公理体系在西方也不是主流，没有吹捧到那么高。因为数学还是比较直
: 观的，搞个公理体系反而让人觉得脱裤子放屁。牛顿写自然哲学，主要还用平面几何推
: 导而不是微积分，用的平面几何很复杂，所以也写成公理体系形式。后来微积分的应用
: ，大家发现这东西已经严重远离直观思维，很多东西不写清楚实在没法讨论，错误和质
: 疑太多，感觉很不可靠，才不得不重新重视公理体系。现代数学就更加远离直观了，所
: 以更不能离开公理体系。
: 按版上将军的说法，计算先行，到了一定的复杂度，必然会催生公理体系。即便没有古
: 希腊的公理体系，到了微积分时代也会被倒逼搞出公理体系。古希腊公理体系出现的不
: 合常理，所以版上有些将军质疑伪造。
: 的。

具体的数学问题，应该是数学习题册，正文部分还是有的。我的观点是大一统以后理论部分收归中央，只给下面应用例子和口诀，不让掌握原理。这个是中央集权的一个坏处。如果每个省都有人掌握远离，都会观测天象计算日月食，也时不时发布，甚至偶尔比中央算的还准，皇帝就寝食难安了。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 好吧，我说的重点是中国古人依直觉行事，并没有积极地构造数学理论的意识。无论公
: 理体系还是算法路径，目的都是要最终建立一套理论，而不是像中国古代数学那样，给
: 出一些具体数学问题，也就是特例，没有证明，也就谈不上这种方法是否普遍适用，自
: 然也就基本上没有啥理论产生。

其实我现在觉得，中国古代的数学有一个很大的障碍是语言问题，中国古文算经里面用了很多专有名词，如果不是精研古籍，根本看不懂，导致明朝的时候连九章算术都没什么人能看懂。

相反，西方的表述可以借用字母，则比较简洁。而且抽象了而很多概念出来，比如三角形，长方形。吴文俊提到唐朝的时候其实印度阿拉伯数字已经流传到中国，但是一直没有被中国接受。怀疑跟中国使用象形文字也有关系，如果中国人普遍学一门外语，就可以发现代数。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 好吧，我说的重点是中国古人依直觉行事，并没有积极地构造数学理论的意识。无论公
: 理体系还是算法路径，目的都是要最终建立一套理论，而不是像中国古代数学那样，给
: 出一些具体数学问题，也就是特例，没有证明，也就谈不上这种方法是否普遍适用，自
: 然也就基本上没有啥理论产生。

天干地支八卦这些不就是用一个汉字就能表示的吗？我看不出甲+乙=丙之类会和A+B=C
有本质区别。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 其实我现在觉得，中国古代的数学有一个很大的障碍是语言问题，中国古文算经里面用
: 了很多专有名词，如果不是精研古籍，根本看不懂，导致明朝的时候连九章算术都没什
: 么人能看懂。
: 相反，西方的表述可以借用字母，则比较简洁。而且抽象了而很多概念出来，比如三角
: 形，长方形。吴文俊提到唐朝的时候其实印度阿拉伯数字已经流传到中国，但是一直没
: 有被中国接受。怀疑跟中国使用象形文字也有关系，如果中国人普遍学一门外语，就可
: 以发现代数。

光比画就复杂很多啊。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 天干地支八卦这些不就是用一个汉字就能表示的吗？我看不出甲+乙=丙之类会和A+B=
C
: 有本质区别。

中国人据说最擅长记录历史，你说的正文部分，历史上有任何记载吗？有保存到现在的“正文”吗？就算皇家收藏了，也一本没留下吗？

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 具体的数学问题，应该是数学习题册，正文部分还是有的。我的观点是大一统以后理论
: 部分收归中央，只给下面应用例子和口诀，不让掌握原理。这个是中央集权的一个坏处
: 。如果每个省都有人掌握远离，都会观测天象计算日月食，也时不时发布，甚至偶尔比
: 中央算的还准，皇帝就寝食难安了。

忘了中国人划正字来计数了？还有八卦。中国的筹算也有自己表示数字的符号系统，并不用汉字记数。真有发展代数的需要，再创立一套笔划简单的代数专用汉字也不难。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 光比画就复杂很多啊。
: C

你说的轻巧，一套阿拉伯数字都是人类数学史的里程碑式的贡献。关键中国人至少大部分文人没有见过字母文字，古代会梵语的人也很少把

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 忘了中国人划正字来计数了？还有八卦。中国的筹算也有自己表示数字的符号系统，并
: 不用汉字记数。真有发展代数的需要，再创立一套笔划简单的代数专用汉字也不难。

不要被字母文字限制了思路。搞出一套日语片假名式的符号系统很难吗？你也可以搜索一下苏州码子，是阿拉伯数字在中国流行前，中国人流行的数字，这种符号系统，只要有需要，就能产生，阿拉伯数字只不过是最成功的一种罢了。
【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 你说的轻巧，一套阿拉伯数字都是人类数学史的里程碑式的贡献。关键中国人至少大部
: 分文人没有见过字母文字，古代会梵语的人也很少把

我看了苏州码子，跟算筹很像，不要小看了这种差距，阿拉伯数字确实很优越，你就想想如果用中文发展出C语言会有多难。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 不要被字母文字限制了思路。搞出一套日语片假名式的符号系统很难吗？你也可以搜索
: 一下苏州码子，是阿拉伯数字在中国流行前，中国人流行的数字，这种符号系统，只要
: 有需要，就能产生，阿拉伯数字只不过是最成功的一种罢了。

所以说文科生误国啊。写历史的文科生自己搞不懂数学，就跟美帝反智一样，能指望他们记载下来？擅长记录历史，不是技术史，而是政治斗争史。直到现在搞历史的都很不重视技术在历史推动中的作用，成天就知道说秦始皇眼光长远知道搞车同轨，殊不知其实周文王也想搞，但是技术限制很无奈，只能分封。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 中国人据说最擅长记录历史，你说的正文部分，历史上有任何记载吗？有保存到现在的
: “正文”吗？就算皇家收藏了，也一本没留下吗？

古代官修的史书就类似现在央视的纪录片。央视纪录片谈科学家，只能泛泛说说贡献，不可能具体到技术细节。这就类似隋书提到3.1415926，只有结果，没有过程。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 所以说文科生误国啊。写历史的文科生自己搞不懂数学，就跟美帝反智一样，能指望他
: 们记载下来？擅长记录历史，不是技术史，而是政治斗争史。直到现在搞历史的都很不
: 重视技术在历史推动中的作用，成天就知道说秦始皇眼光长远知道搞车同轨，殊不知其
: 实周文王也想搞，但是技术限制很无奈，只能分封。

无知并不是论据，你正经去读读九章算术，海岛算经，四元玉鉴等等再来说话行不行？实在读不懂古代数学典籍，可以去看看莫绍揆先生研究的结果。莫绍揆老先生是研究数理逻辑的，肯定比你懂得公理化和形式化。别拿几个术语吓唬正经受过公理化和形式化的训练的人，没意思。
【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 中国古人在搞你所谓“算法路径”的时候，知道存在公理体系这回事吗？如果不知道的
: 话，谈得上什么等不等价？中国古人根本就是别无选择地依赖直觉行事呗，看个人天份
: 和造化了，所以最终就是之前有人提到的偶有亮点，全是孤岛。

你这个认识是错误的。中国经典数学，既有体系，又有证明，只不过证明没有西方强。正如版上诸位指出的，公理体系的重要性是到近代才体现出来的。

你说没有理论，我举个例子反驳。中国在代数方程求解方面遥遥领先，从《九章算术》的二次方程到宋朝秦九韶的十次方程（实际上是任意次），到明朝朱世杰的四元方程，历时一千多年，形成了一套完整的方法。怎么是没有体系，没有理论？我有空会写个介绍。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 好吧，我说的重点是中国古人依直觉行事，并没有积极地构造数学理论的意识。无论公
: 理体系还是算法路径，目的都是要最终建立一套理论，而不是像中国古代数学那样，给
: 出一些具体数学问题，也就是特例，没有证明，也就谈不上这种方法是否普遍适用，自
: 然也就基本上没有啥理论产生。

你说的这点我一直很困惑。《九章算术》是一本习题集，那么汉朝学生应该还有课本，而今天确实没有见到这样的课本。你的推测很有可能。

但也有人认为古代数学就是通过习题来学的，没有课本。即使现在，有些中小学教科书还是类似这样。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 具体的数学问题，应该是数学习题册，正文部分还是有的。我的观点是大一统以后理论
: 部分收归中央，只给下面应用例子和口诀，不让掌握原理。这个是中央集权的一个坏处
: 。如果每个省都有人掌握远离，都会观测天象计算日月食，也时不时发布，甚至偶尔比
: 中央算的还准，皇帝就寝食难安了。

虽然我说什么你都要反对，但你的这个观点我同意。中国古代的计数有一套符号（算筹），不是普通文字。解方程大都是直接用算筹或算盘。可能中国过早拥有（原始）计算机，反而限制了抽象符号的发展。就像今天我们用电脑解方程，有几个人还会想去套公式？

但是据我所知，数学符号体系是近代法国人才搞出来的，以前各国都没有。最早大概是笛卡尔用x, y, z，后来经无数人逐渐完善的。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 不要被字母文字限制了思路。搞出一套日语片假名式的符号系统很难吗？你也可以搜索
: 一下苏州码子，是阿拉伯数字在中国流行前，中国人流行的数字，这种符号系统，只要
: 有需要，就能产生，阿拉伯数字只不过是最成功的一种罢了。

我估摸中央算学馆上课可能类似有些教授那样，没有固定课本，每次讲义几张纸，大家讨论。这些东西外面的人看不到，算学馆要求学生保密，所以没有留下成体系的理论书籍。习题集作为应用题集合，允许发放民间传播。民间学习只能通过习题册，所以还要自己写注解。但是最高数学机构肯定有相对系统的研究。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 你说的这点我一直很困惑。《九章算术》是一本习题集，那么汉朝学生应该还有课本，
: 而今天确实没有见到这样的课本。你的推测很有可能。
: 但也有人认为古代数学就是通过习题来学的，没有课本。即使现在，有些中小学教科书
: 还是类似这样。

古代纸张很紧缺，所以笔算需要大量的草稿纸，不可能实现。

1. 希腊走向了搞推理，可以在沙盘上画一幅画，在脑子里推
2. 中国则通过数学机械化，用算筹，算盘这种可抹除的工具来计算

后来纸张有了，但是习惯已经养成了，再加上中国天朝上国的骄傲心里，不注意和其他民族交流。

【 在 bobolan88 (波波熊) 的大作中提到: 】
: 我估摸中央算学馆上课可能类似有些教授那样，没有固定课本，每次讲义几张纸，大家
: 讨论。这些东西外面的人看不到，算学馆要求学生保密，所以没有留下成体系的理论书
: 籍。习题集作为应用题集合，允许发放民间传播。民间学习只能通过习题册，所以还要
: 自己写注解。但是最高数学机构肯定有相对系统的研究。

这个问题问得很好。就算皇家保密，一千多年下来也应该有人编出来了。

【 在 novawt (novawt) 的大作中提到: 】
: 中国人据说最擅长记录历史，你说的正文部分，历史上有任何记载吗？有保存到现在的
: “正文”吗？就算皇家收藏了，也一本没留下吗？

《九章算术》确实是习题集，里面经常有一些提示比如 “如方程”， 刘徽的九章算术注已经有数学证明在里面了。

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 这个问题问得很好。就算皇家保密，一千多年下来也应该有人编出来了。

对，“如方程”意思是按照方程术，方程术讲得比较简练，刘徽把它扩展了。但是最早给出方程术的人肯定也是知道为什么的，因为《九章算术》里从二阶到六阶的（线性）方程（组）都有。。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 《九章算术》确实是习题集，里面经常有一些提示比如 “如方程”， 刘徽的九章算术
: 注已经有数学证明在里面了。

是的，确实有这个问题，这是不是说明古代数学的传承做的不好。刘徽相当于重新发现九章算术的原理，如果已经广为人知就不用写注了

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 对，“如方程”意思是按照方程术，方程术讲得比较简练，刘徽把它扩展了。但是最早
: 给出方程术的人肯定也是知道为什么的，因为《九章算术》里从二阶到六阶的（线性）
: 方程（组）都有。。

属实。所以民间必须的应用口诀类，就出书下去指导。而理论体系，则不耗费纸张，所以传承很差。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 古代纸张很紧缺，所以笔算需要大量的草稿纸，不可能实现。
: 1. 希腊走向了搞推理，可以在沙盘上画一幅画，在脑子里推
: 2. 中国则通过数学机械化，用算筹，算盘这种可抹除的工具来计算
: 后来纸张有了，但是习惯已经养成了，再加上中国天朝上国的骄傲心里，不注意和其他
: 民族交流。

可能是如波波熊所说，皇家机构保密，有保密和公开两个版本，公开版本比较简单。像中国余数定理，根据秦九韶的说法，各个朝代都用来修历法，但是没有公开的。《九章算术》里根本没有，直到秦九韶才把此法详细给出。

【 在 Caravel (克拉维尔) 的大作中提到: 】
: 是的，确实有这个问题，这是不是说明古代数学的传承做的不好。刘徽相当于重新发现
: 九章算术的原理，如果已经广为人知就不用写注了

麻痹的，收藏武功是会贬值的

【 在 FoxMe (FoxMe) 的大作中提到: 】
: 可能是如波波熊所说，皇家机构保密，有保密和公开两个版本，公开版本比较简单。像
: 中国余数定理，根据秦九韶的说法，各个朝代都用来修历法，但是没有公开的。《九章
: 算术》里根本没有，直到秦九韶才把此法详细给出。