For any non-negative integer n, there is a real positive rational number x less than 1, where the non-integer part of 5^n * x, (i.e. 5^n * x - floor(5^n * x)), is always less than 671/700. Let us assume x = q/p, where p and q are relatively prime, then what is the maximum possible value of x and corresponding p, q pair value ?
回复 1楼 youyouzou 的帖子 这个题目的表述不清楚，比如“what is the maximum possible value of x (i.e. p and q )?” x, p, q 的最大值肯定不一样，它到底要的是谁的最大值？ 如果是要x的最大值的话，x显然可以取任意大，因为如果x满足那个条件，那x+1同样满足那个条件。所以x的最大值不存在。
回复 1楼 youyouzou 的帖子 这个题目的表述不清楚，比如“what is the maximum possible value of x (i.e. p and q )?” x, p, q 的最大值肯定不一样，它到底要的是谁的最大值？ 如果是要x的最大值的话，x显然可以取任意大，因为如果x满足那个条件，那x+1同样满足那个条件。所以x的最大值不存在。 ecaeca 发表于 2025-04-18 22:10
Let us assume x = q/p, where p and q are relatively prime, then what is the maximum possible value of x and corresponding p, q pair value ?
这个题目的表述不清楚，比如“what is the maximum possible value of x (i.e. p and q )?” x, p, q 的最大值肯定不一样，它到底要的是谁的最大值？
如果是要x的最大值的话，x显然可以取任意大，因为如果x满足那个条件，那x+1同样满足那个条件。所以x的最大值不存在。
题目已改正，X less than 1. 求 max!
这个结论仍然是没有最大值，因为对任意正整数k，取x=1/(5^k-1)，它都满足题目条件：5^n x=5^n/(5^k-1)，它的小数部分比671/700小。这时p+q=5^k，k可以取任意大。
题目再次改正， 求有理数x的最大值？
现在知道 x = 23/24 满足条件，但是不知道 有没有更大的x ？
x = [0, 0.2) x = [0.2, 0.4) x = [0.4, 0,6) x = [0.6, 0.8) x = [0.8, 1.0)
乘以5，下一轮完全对应区间相同，所以知道这个数一定在 【0.8， 671/700），5*x 以后小数部分 【0， 671/140-4） = 【0， 111/140）,又要考虑 modular "0.2"以后， 接着下一轮又要 乘以 5，，。。....不知道怎么处理？
23/24就是最大值。
不明觉厉。感谢！拜读以后再问