平面上处处不连续的函数，怎么求导数

很有意思的问题，mitbbs 猥琐男认为： 这个问题是鉴别小镇刷题家的工具
楼下说大一学的，先搞懂dirac delta function 再来，你能学到很多，我保证
深入讨论的话，这些概念都会涉及 复函分析 傅里叶变换 黎曼流形，黎曼球 超函数 量子力学 广义相对论 甚至神经网络，量子计算机
我也是闲的，不会回复了

WhatAgain 发表于 2025-04-18 09:57
很有意思的问题，mitbbs 猥琐男认为： 这个问题是鉴别小镇刷题家的工具

如何做到“处处不连续”？
另外函数在某点附近连续，是在这点可导的必要条件啊。

到处都不连续，你还叫“函数”不合适吧

导数的定义：在点 X 的邻域内连续并趋于一个确定值，否则导数不存在。

处处不连续的函数在其定义域内任何一点都不可导，因此无法求导数。

我还记得可以构造一个处处连续但处处不可导的函数，反过来不知道了

回复 6楼 的帖子
dirichlet ?

先拟合一个连续的函数吧

先拟合一个连续的函数吧
baicaiyezi2 发表于 2025-04-18 11:03

方向正确，不过思路不是拟合。 楼上questioning about the question itself, there are many such functions, i.i. delta, zeta ...

很有意思的问题，mitbbs 猥琐男认为： 这个问题是鉴别小镇刷题家的工具

WhatAgain 发表于 2025-04-18 09:57

说得太笼统，处处不连续，就是一系列的点呗，函数的概念都不一定适用，导数定义就没有意义 或许你想问到是处处连续但不光滑吧？ 那就看能不能用连续时间的扩散过程来定义导数了，也就是导数本身也是个分布（不确定方向）

本科大一微积分问题

andolomeda 发表于 2025-04-18 11:33
本科大一微积分问题

大一怎么可能讲这个，这是数学专业高年级或者理工研究生的内容，涉及测度论了

WhatAgain 发表于 2025-04-18 11:26
方向正确，不过思路不是拟合。 楼上questioning about the question itself, there are many such functions, i.i. delta, zeta ...

delta 函数也不是‘处处不连续‘啊，你自己明明说的是处处不连续，你举的这俩例子都不是处处不连续… 你再举几个例子？

回复 13楼 第N个小背心 的帖子
Do you understand what dirac delta function is?

回复 1楼 WhatAgain 的帖子
处处不连续，当然不可导了！楼主学过高等数学吗？

大一怎么可能讲这个，这是数学专业高年级或者理工研究生的内容，涉及测度论了
facet 发表于 2025-04-18 11:35

国内top的数学系/理工专业 大一基本讲
是否连续/可导跟测度论根本没关

“处处连续但处处不可导” 这是你想问的问题吧

第N个小背心 发表于 2025-04-18 10:24
到处都不连续，你还叫“函数”不合适吧

函数的定义和连续有啥关系。想想几年级学的函数的定义，几年级学的连续的定义。

数学是测量和计算时空的学科吗？

genie05 发表于 2025-04-18 11:46
函数的定义和连续有啥关系。想想几年级学的函数的定义，几年级学的连续的定义。

对呀，这帖子里的各种回复惊到我了。。。真是大一都没上吗？光顾谈恋爱了？

WhatAgain 发表于 2025-04-18 11:40
回复 13楼 第N个小背心 的帖子
Do you understand what dirac delta function is?

是啊，我是学物理的额……
但真心不明白你为啥要说它“处处”不连续啊，你咋证明它‘处处’不连续？这个真心问的不是抬杠

facet 发表于 2025-04-18 11:32
说得太笼统，处处不连续，就是一系列的点呗，函数的概念都不一定适用，导数定义就没有意义 或许你想问到是处处连续但不光滑吧？ 那就看能不能用连续时间的扩散过程来定义导数了，也就是导数本身也是个分布（不确定方向）

他说的是不连续啊，如果只是连续不光滑的话那就不值得他这么神神叨叨的了…

回复 21楼 第N个小背心 的帖子
学物理的？不知道dirac function is a infinite pulse on a single do?

第N个小背心 发表于 2025-04-18 11:50
是啊，我是学物理的额……
但真心不明白你为啥要说它“处处”不连续啊，你咋证明它‘处处’不连续？这个真心问的不是抬杠

现在物理专业不学数学分析了吗？

回复 22楼 第N个小背心 的帖子
不是我神，无知无畏

第N个小背心 发表于 2025-04-18 11:51
他说的是不连续啊，如果只是连续不光滑的话那就不值得他这么神神叨叨的了…

再mark一个惊到我的答复。。。这个回复太牛x了。。。

WhatAgain 发表于 2025-04-18 11:52
回复 21楼 第N个小背心 的帖子
学物理的？不知道dirac function is a infinite pulse on a single do?

我只看出来你不是学物理的 ：/
你再说说，它怎么就‘处处不连续’了呢？

qgp 发表于 2025-04-18 11:52
现在物理专业不学数学分析了吗？

学啊，数学分析没讲dirac delta倒是，数学家本来就不喜欢这个东西我觉得

回复 27楼 第N个小背心 的帖子
LOL，我也看出来了，你连量子力学狄拉克函数都没搞懂

第N个小背心 发表于 2025-04-18 11:55
我只看出来你不是学物理的 ：/
你再说说，它怎么就‘处处不连续’了呢？

hmm。。。mm你别再说这些话了，太吓人了。你学物理的，大一真没学数学吗？

第N个小背心 发表于 2025-04-18 11:56
学啊，数学分析没讲dirac delta倒是，数学家本来就不喜欢这个东西我觉得

难道你整个第一年没有都在造这种处处不连续，或者处处连续处处不可导的怪异函数？

难道你整个第一年没有都在造这种处处不连续，或者处处连续处处不可导的怪异函数？
qgp 发表于 2025-04-18 11:59

连续不可导这个我记得的，但是处处不连续（而且它还是函数）还真是很难想到啊 -- 难道是在很多地方函数没意义吗？ 就比如Lz举的例子，起码在我的认知里面，delta函数有很多地方是0的，那不就是连续的吗，是我想得太天真了吗
当然了可能我本来学的不好嘛，也可能是年纪大了变笨了，看见这个贴我还真是挺高兴的，Lz应该好好讲讲的，但是我觉得他神神叨叨，不知道他会不会回来给大家这个问题的解答
再给编辑一下：Lz我错了我道歉，我想到了处处不连续的函数的例子（虽然我还是不同意你说的delta函数的）

连续不可导这个我记得的，但是处处不连续（而且它还是函数）还真是很难想到啊 -- 难道是在很多地方函数没意义吗？ 就比如Lz举的例子，起码在我的认知里面，delta函数有很多地方是0的，那不就是连续的吗，是我想得太天真了吗
当然了可能我本来学的不好嘛，也可能是年纪大了变笨了，看见这个贴我还真是挺高兴的，Lz应该好好讲讲的，但是我觉得他神神叨叨，不知道他会不会回来给大家这个问题的解答
再给编辑一下：Lz我错了我道歉，我想到了处处不连续的函数的例子（虽然我还是不同意你说的delta函数的）
第N个小背心 发表于 2025-04-18 12:10

奇怪的函数又不只是delta一个。。。。delta是一个非常非常normal looking的函数了😂
但是lz这处处不连续但是可导。。。我愚昧了，确实不能理解，难道不是可导函数必须先是连续函数吗？

qgp 发表于 2025-04-18 12:20
奇怪的函数又不只是delta一个。。。。delta是一个非常非常normal looking的函数了😂
但是lz这处处不连续但是可导。。。我愚昧了，确实不能理解，难道不是可导函数必须先是连续函数吗？

你是对的。一时间还真的没想到处处不连续的函数，想到一个以后就发现有很多。

回复 1楼 WhatAgain 的帖子
学过signal processing的都应该知道吧

Yuangungun 发表于 2025-04-18 10:58
回复 6楼 的帖子
dirichlet ?

维尔斯特拉斯

qgp 发表于 2025-04-18 11:59
难道你整个第一年没有都在造这种处处不连续，或者处处连续处处不可导的怪异函数？

处处连续处处不可导 很难造呀。 记得当年学数学分析， 老师说 你能给出一个完全不同于 维尔斯特拉斯 的例子。 期末直接免考100分， 好像没人给弄出来。

第N个小背心 发表于 2025-04-18 12:10
连续不可导这个我记得的，但是处处不连续（而且它还是函数）还真是很难想到啊 -- 难道是在很多地方函数没意义吗？ 就比如Lz举的例子，起码在我的认知里面，delta函数有很多地方是0的，那不就是连续的吗，是我想得太天真了吗
当然了可能我本来学的不好嘛，也可能是年纪大了变笨了，看见这个贴我还真是挺高兴的，Lz应该好好讲讲的，但是我觉得他神神叨叨，不知道他会不会回来给大家这个问题的解答
再给编辑一下：Lz我错了我道歉，我想到了处处不连续的函数的例子（虽然我还是不同意你说的delta函数的）

处处不连续 是基本例子呀。 你学物理的， 微积分课肯定应该讲过。

这里面需要把概念阐述清楚一些。不连续的函数有可能被视作分布，所以在分布的意义下可以求导。 但是这时候“函数”实际所指的是一个函数等价类，任何两个只在零测集上不同的函数被视作同一函数。

Skipper 发表于 2025-04-18 17:40
这里面需要把概念阐述清楚一些。不连续的函数有可能被视作分布，所以在分布的意义下可以求导。 但是这时候“函数”实际所指的是一个函数等价类，任何两个只在零测集上不同的函数被视作同一函数。

哦，这样啊

处处不连续的函数，是不是x是有理数的时候是1，是无理数的时候是0，就可以。这样的函数是不可导的。
楼主说的函数也不是处处不可导的。Dirac delta function比较特别，是在0处无穷大，其他处都为0。那么x不等于零时导数都是0呀。确切说它是个分布，在0处导数也是个分布。Riemann zeta function更在大部分地方可导。

处处不连续就处处没有导数，某点导数的定义是在该点函数值减去附近点的函数值除以该点减去附近的点的值，取无限接近的点就是该点的导数值，如果这个函数都不连续了，那显然导数是不存在的。

来自ChatGPT 这是个很有意思的问题——处处不连续的函数是不可导的，所以它的导数根本不存在。 我们来分析一下为什么： 导数存在的前提是函数在该点连续。 也就是说，如果一个函数在某一点不连续，那它在这一点就一定不可导。 所以如果一个函数在整个平面上（或实数集上）处处不连续，那它在任何一点都不会有导数。 举个例子：狄利克雷函数（Dirichlet function） 这是一个著名的“处处不连续”的函数： f(x) = \begin{cases} 1, & \text{if } x \in \mathbb{Q} \\ 0, & \text{if } x \notin \mathbb{Q} \end{cases} 它在实数轴上到处都不连续，因此在任何一点都没有导数。 小结： 如果一个函数在整个区域内处处不连续，那么它是处处不可导，没有导数可言，因为连续是可导的必要条件。 如果你遇到的是某种“广义导数”或者“分布导数”的背景（比如在泛函分析或数学物理里），那是另一种更高级的处理方式，我也可以给你介绍下。 你是在哪个语境下遇到这个问题的？课程内容？考试题？还是好奇？

好啊，我们就来聊聊在更广义的意义下，怎么处理“不可导”的函数”，特别是“处处不连续”的函数的导数”。 你提到的这种情况，在传统微积分里是无法处理的，但在泛函分析和广义函数理论（也叫分布理论，Distribution Theory）里，有一套办法来“定义导数”，即使函数不可导。 一、什么是广义函数（分布）？ 在传统意义上，函数必须在某点附近有极限、有连续性等，但在广义函数理论中，我们把函数看作“对测试函数的作用”（比如积分操作），因此可以处理一些传统意义下“不是函数”的对象，比如狄拉克 delta 函数。 举例：狄拉克 δ 函数 δ(x) 不是真正的函数，而是一个分布。 它的“作用”是：∫ δ(x) φ(x) dx = φ(0) 所以广义函数不再拘泥于具体函数表达式，而是看它对别的函数产生什么样的“效果”。 二、广义导数（distributional derivative） 这个概念允许我们对不可导、甚至不连续的函数定义导数。 定义（广义导数的核心）： 设  是一个局部可积函数（哪怕不连续），我们可以定义它的广义导数  为一个分布，使得对所有“光滑、紧支撑”的测试函数 ，有： \int f(x) \phi'(x)\, dx = - \int f'(x) \phi(x)\, dx 这就类似我们用分部积分把导数“转移”到测试函数上。 三、经典例子 1. 阶跃函数（Heaviside function）： H(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases} 传统上它在  不连续，不可导，但它的广义导数是 δ 函数： H'(x) = δ(x) 2. 狄利克雷函数： f(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases} 它既不连续，也不有界（在局部测度意义上），不能定义广义导数，因为它不是“局部可积”的（Riemann 意义下无法积分）。 所以，不是所有不可导函数都有广义导数，但很多“恶心”的函数是可以处理的，只要它至少“能积”一下。 四、用在哪？ 广义导数和分布常用于： • 偏微分方程（PDE）理论 • 信号处理（脉冲函数） • 数理物理（尤其是量子场论） • 图像处理（边缘检测的数学基础） 如果你感兴趣，我可以举个更详细的例子，比如怎么用广义导数求出绝对值函数  的导数和二阶导数（传统意义下在  是不可导的）。 要不要我给你详细算一下？