我来请教一道国内初一数学题，亲戚问我，我也不知道该怎么答

如下截图，第二小题 完全不知道出题者的意图是啥 考的啥知识点 所以不知道该如何答 请各位不吝赐教 谢谢

1 : BDA和EDA两个三角形是全等的，所以三角BDE是120度顶角的等腰三角形，角DBE= 30度，长BD=DE=2，BE = 2sqrt(3),。也就是说三角CBE已知长CB=8，BE=2sqrt(3), 夹角CBE=30度，求第三边CE长度。答案是2sqrt(7)。 2: BC> DC=AC>AF

Jicama 发表于 2024-08-26 17:50
1 : BDA和EDA两个三角形是全等的，所以三角BDE是120度顶角的等腰三角形，角DBE= 30度，长BD=DE=2，BE = 2sqrt(3),。也就是说三角CBE已知长CB=8，BE=2sqrt(3), 夹角CBE=30度，求第三边CE长度。答案是2sqrt(7)。 2: BC> DC=AC>AF

谢谢哈 我主要是问第二小题 问题问的是BC和AF的数量关系 难道不是期待一个用AF来表示BC？ 或者反之用BC表示AF？ 或者至少给出一个范围 比如： AF在1/2BC和2/3BC之间 一类的答案 而只需要比较大小？ 如果这样，那不是很明显的么？

角CDE = 60，DE = BD=2，DC=AC=6 用余弦定理 CE=sqrt(2^2+6^2 - 2(2)(6)cos(60))= sqrt(28)=2sqrt(7)

Jicama 发表于 2024-08-26 17:50
1 : BDA和EDA两个三角形是全等的，所以三角BDE是120度顶角的等腰三角形，角DBE= 30度，长BD=DE=2，BE = 2sqrt(3),。也就是说三角CBE已知长CB=8，BE=2sqrt(3), 夹角CBE=30度，求第三边CE长度。答案是2sqrt(7)。 2: BC> DC=AC>AF

角BDE120度从哪里来的？

sioc 发表于 2024-08-26 18:42
角BDE120度从哪里来的？

题目中给的。

猜想 B 无限接近于 D，则 F 无限接近于 AC 中点。数量关系就是两倍。

回复 5楼 sioc 的帖子
△BDA与△EDA全等，所以∠BDA=∠EDA=120°，所以∠BDE=120°

初一学这么难啊 美国几年级学这种题？

画的特殊情形有交点，但不代表一般情况

猜想 B 无限接近于 D，则 F 无限接近于 AC 中点。数量关系就是两倍。
xiaoxiaojia 发表于 2024-08-26 18:55

You are basically correct. Since the language in Part 2 is vague, any proposed answer can be subjected to debate. The point F doesn''''t even exist when 角ABD 小于30度 (对应于BC > 2DC)。 在 BC 从 2DC 逐渐减少到DC的过程（也就是角ABD 从30度逐渐增加到60度的过程）中，AF 逐渐从AC减少到AC/2 (也就是从DC减少到DC/2）. So one might guess that AF= BC/2. (而BC不能小于DC，done)

xcosmos 发表于 2024-08-26 18:03
谢谢哈 我主要是问第二小题 问题问的是BC和AF的数量关系 难道不是期待一个用AF来表示BC？ 或者反之用BC表示AF？ 或者至少给出一个范围 比如： AF在1/2BC和2/3BC之间 一类的答案 而只需要比较大小？ 如果这样，那不是很明显的么？

在AF之间取点G，使得角 AGE是120度。这样三角形ABD 和 EAG全等，所以AG=2,EG=6。 三角形 EGF和DCF又全等，GF=CF，AC=6， 所以 GF=2。 AF=4=1/2 BC

在AF之间取点G，使得角 AGE是120度。这样三角形ABD 和 EAG全等，所以AG=2,EG=6。 三角形 EGF和DCF又全等，GF=CF，AC=6， 所以 GF=2。 AF=4=1/2 BC warrenfly 发表于 2024-08-26 21:20:50
Good job. Also your argument works even when we don''t assume BD=2, AC=6. Generally, AF=AG+GF = (AG+AG+GF+GF)/2 =[AG+(AG+GF+FC)]/2 =[BD+AC]/2 =[BD+DC]/2 =BC/2

明朗少女 发表于 2024-08-26 19:48
初一学这么难啊 美国几年级学这种题？

美国 这是竞赛题了。

再提供一个第二问解法： 看比例很像是1:2，以下证明。 将三角形ABD绕A逆时针旋转120度，则B与E重合，D旋转到点H。AH=AD，角DAC=角HAC=60度。连接DH交AC于M，则M为AC中点。 AM= 1/2 AC = 1/2 CD，下面就只要证明 MF= 1/2 BD 了。BD=HE，只要证明 MF= 1/2 HE。已经有 DM=MH，只要AC平行HE就行了。BD和AC成60度角，逆时针旋转120度，所以 HE平行AC。证毕。

明朗少女 发表于 2024-08-26 19:48
初一学这么难啊 美国几年级学这种题？

高中都不一定做得出来

点苍鹤云 发表于 2024-08-26 18:47
题目中给的。

？题目中哪给？

Spark001 发表于 2024-08-26 19:41
回复 5楼 sioc 的帖子
△BDA与△EDA全等，所以∠BDA=∠EDA=120°，所以∠BDE=120°

？这几个点又不在同一平面，怎么从∠BDA=∠EDA=120°，到∠BDE=120°？

延长AF到两倍长，得到点G，连接DG。 三角形ABD和DGC是全等三角形，所以BD=CG。 因为ADC是等边三角形，所以DC=AC。 那么BD+DC=CG+ AC 也就是说BC=AG。 因为AG就是两倍的AF，所以BC=2AF。
这个确实是国内初中几何的内容。

metis 发表于 2024-08-26 23:36
延长AF到两倍长，得到点G，连接DG。 三角形ABD和DGC是全等三角形，所以BD=CG。 因为ADC是等边三角形，所以DC=AC。 那么BD+DC=CG+ AC 也就是说BC=AG。 因为AG就是两倍的AF，所以BC=2AF。
这个确实是国内初中几何的内容。

请问如何证明ABD和DGC是全等三角形？ 我只能确定它们有一条边相等AD=DC 一个角相等角ADB=角DCG

AlIen_196883 发表于 2024-08-26 22:43
再提供一个第二问解法： 看比例很像是1:2，以下证明。 将三角形ABD绕A逆时针旋转120度，则B与E重合，D旋转到点H。AH=AD，角DAC=角HAC=60度。连接DH交AC于M，则M为AC中点。 AM= 1/2 AC = 1/2 CD，下面就只要证明 MF= 1/2 BD 了。BD=HE，只要证明 MF= 1/2 HE。已经有 DM=MH，只要AC平行HE就行了。BD和AC成60度角，逆时针旋转120度，所以 HE平行AC。证毕。

哇，你这个证明好棒！ 就是我需要的答案 补充一下 要证明AC//HE，只需证明角CAE=角AEH 角BAD+角ABD=60度 角BAD+角CAE也等于60度，因为角BAE（120）-角DAC（60）=60 所以角ABD=角CAE=角AEH
非常感谢！

Skipper 发表于 2024-08-26 21:56
在AF之间取点G，使得角 AGE是120度。这样三角形ABD 和 EAG全等，所以AG=2,EG=6。 三角形 EGF和DCF又全等，GF=CF，AC=6， 所以 GF=2。 AF=4=1/2 BC warrenfly 发表于 2024-08-26 21:20:50
Good job. Also your argument works even when we don''t assume BD=2, AC=6. Generally, AF=AG+GF = (AG+AG+GF+GF)/2 =[AG+(AG+GF+FC)]/2 =[BD+AC]/2 =[BD+DC]/2 =BC/2

谢谢 这个方法也很不错 只不过怎么证明取的G点成120角就一定在AF之间？

sioc 发表于 2024-08-26 23:07
？这几个点又不在同一平面，怎么从∠BDA=∠EDA=120°，到∠BDE=120°？

这个就是平面几何题。逆时针也是指在这个平面上逆时针转。 要不然就没有唯一解了。

xcosmos 发表于 2024-08-27 01:25
请问如何证明ABD和DGC是全等三角形？ 我只能确定它们有一条边相等AD=DC 一个角相等角ADB=角DCG

不好意思我修改一下: 从D点做AE的平行线，与AF延长线交于点G (1) 角DCG＝BDA (2) 角ＡＢＤ＋ＢＡＤ＝６０，角GAE＋BAD＝６０，所以ABD=GAE；而因为AE和DG平行，所以GAE=AGD；所以ABD=AGD (3) 最后因为边长AD=CD 这样两角一边，得到三角形ABD和三角形DGC全等。 那么BD=CG 所以BC=BD+DC=CG+AC=AG ABD和DGC全等三角形也意味着DG=AB； 那么三角形FDG和FEA也是全等三角形（三角一边） 所以AG=AF+FG=2AF 这样BC=2AF
其实这样转AE，就是相当于把ABD挪到了DGC的地方，然后画了一个AEGD的平行四边形。

metis 发表于 2024-08-27 12:49
不好意思我修改一下: 从D点做AE的平行线，与AF延长线交于点G (1) 角DCG＝BDA (2) 角ＡＢＤ＋ＢＡＤ＝６０，角GAE＋BAD＝６０，所以ABD=GAE；而因为AE和DG平行，所以GAE=AGD；所以ABD=AGD (3) 最后因为边长AD=CD 这样两角一边，得到三角形ABD和三角形DGC全等。 那么BD=CG 所以BC=BD+DC=CG+AC=AG ABD和DGC全等三角形也意味着DG=AB； 那么三角形FDG和FEA也是全等三角形（三角一边） 所以AG=AF+FG=2AF 这样BC=2AF
其实这样转AE，就是相当于把ABD挪到了DGC的地方，然后画了一个AEGD的平行四边形。

谢谢提供第二种思路 这样就很顺畅了