在3月16日的美国确诊人数预估当中，我给出三个阶段性预测：
其中前两项结论早早成为现实，时间节点完全一致。第三项结论也大致准确，只是时间上超前了100多个小时。
于是有读者给我留言——
这太难为我这个塑料数学狗了，但我还是决定更新一下。
这次，我们用SIR模型做预测，这是传染病动力学中被广为接受的数学模型。
阅读本文可能需要高中的微积分知识做储备，如果你认真看完，你是能够自己上手做预测的。
准备好纸笔，你会惊讶于这场新冠肺炎究竟会严重到什么程度。
01
什么是SIR模型？
当一个人得病的时候，他要满足哪些条件呢？首先他得是个易感的人（Susceptible），其次才会染病（Infected），这场病结束后，他会康复或死亡（Removed）。
而SIR模型则将三种状态的人数变化（三者不重不漏），用三个微分等式联系了起来：
dS/dt = -βSI dI/dt = βSI - αIdR/dt = αI
其中α是康复率和致死率的总和，β是一个比例系数，均为常数。S + I + R = N，即总人口不变。由于新冠肺炎全人类易感，所以在初始状态下，N = S0 + I0 ，即总人口数为初始易感人数与初始染病人数的总和。
你仔细看一下这三个等式，其实是现实情况的真实写照。因为在一场流行病爆发时——
1. 健康的易感人数（S）一定是不断减少的，而且这个减少的速度是与现有的健康人数（S）和已经染病的人数（I）相关的，所以就有了dS/dt = -βSI；
2. 染病人数（I）随健康易感人数（S）的减少而增多，随康复或死亡人数（R）的增多而减少，所以dI/dt = βSI - αI；
3. 康复或死亡人数（R）随之不断增长，所以dR/dt = αI 。
当然，知道什么是SIR模型，并不足以预测疫情的走向，因为你还得知道一样东西——
02
R0值
在这三个等式中，我们最想研究的是dI/dt = (βS - α)I ，因为它直接关系到染病人数（I）的预测。
假如一场传染病要成为流行病，那么dI/dt 必须大于0。什么情况下dI/dt 会大于0呢？我们算一下——
-> dI/dt = (βS - α)I > 0-> βS - α > 0 -> βS > α -> βS/α > 1
也就是说，在疫情初期，当βS0/α>1 成立的时候，这场传染病就会成为流行病。而βS0/α这个数字，他有一个大名鼎鼎的名字，叫R0值（基本传染数）。
基本传染数，意为“一个染病的人平均会传染多少个人”——
假如R0 1，传染病会以指数方式散布，成为流行病，但不会永远持续，因为健康易感染人数（S）不断减少，而康复或死亡的人数（R）不断增多；
假如R0 = 1，传染病将成为地方性流行病。
而R0越大，传染病控制难度越大——
需要注意的是，R0是会变化的，但你只需记住R0 = βS0/α 就行了，后面的预测会用上。
现在咱们可以预测疫情的近期走向和未来峰值了——
03
近期走向
终于到你们感兴趣的部分了。
我们先继续研究dI/dt = βS I - αI 这条式子，看看能不能找出染病人数I(t) 的表达式：
-> dI/dt = (βS - α)I -> dI/I = (βS - α)dt-> Ln(I) = (βS - α)t + C （C是常数）-> I = e^[(βS - α)t + C]-> I = P * e^[(βS - α)t] （P是常数）-> I(t) = Pe^kt （k是常数）
发现了吗？I(t) 的表达式其实是一个指数函数：I(t) = Pe^kt 。
I(t) = Pe^kt 意味着什么呢？意味着在瘟疫爆发的一定时间内，流行病染病人数的增长会很大程度呈指数增长，变量为t（时间）。
所以才有了3月16日发布的“以指数函数为拟合方法”的塑料吹哨文，具体的预测方法与验证方法可参考这个链接，这里就不赘述了。
以下是我以美东时间3月26日至4月5日的确诊人数做参考数据后，得出对4月6日（x=12）至4月14日（x=20）的预测：
对照数据，我们可以得出以下结论：
1. 4月9日，美国确诊人数将突破50万；
2. 4月12日，这个数字将超过80万；
3. 4月14日，全美确诊人数将超过100万，并以每天超过20万的速度持续增长。
也就是说，距离突破100万可能只有1周的时间了。
*美国目前检测试剂的发放量依然有限，以上预测时间点有可能会有延迟
指数增长可怕的地方在于，当人们正走在一个斜坡上的时候，他们眼前所看到的未来的增长是这样的——
实际上，它很可能是这样的——
这也是为什么在疫情爆发的初期，人们普遍轻敌的原因。
但这个曲线，究竟会增长到什么地步呢？未来染病人数的峰值会是多少呢？
我们继续看——
04
未来峰值
这一段有点复杂
除了知道确诊人数的未来走向外，我们还想知道染病人数峰值（I_max）在哪里。
我们回到SIR模型中的dS/dt = -βSI 和dI/dt = βSI - αI ，看看能不能找到I(S) 的表达式：
-> dI/dS = (βSI - αI ) / -βSI -> dI/dS = -1 + α/βS-> dI = ( -1 + α/βS) dS
-> ∫dl = ∫( -1 + α/βS) dS-> I(S) = -S + 1/q Ln(S) + C （C是常数）（为了方便计算，令q = β/α）
为了确定上式中C 的唯一性，我们代入SIR初始状态I0 和S0 ，得出C = I0 + S0 + 1/q Ln(S0) 。
于是有了I(S) = I0 + S0 + 1/q Ln(S0) - S + 1/q Ln(S) 。我们希望通过这个表达式，找到染病人数的峰值在哪里。
要找到I(S) 的峰值，我们还要找到当dI/dS=0 时，S 等于多少：
-> dI/dS = (βSI - αI ) / -βSI -> dI/dS = -1 + α/βS = 0-> α/βS = 1-> S = α/β = 1/q
得出当S = 1/q 的时候，I(S) 会达到最大值。
我们将S = 1/q 代入I(S) 后得出：
-> I_max = I0 + S0 - 1/q (1 - Ln(1/q) + Ln(S0))-> I_max = I0 + S0 - 1/q (1 + Ln(q) + Ln(S0))
-> I_max = (I0 + S0) - 1/q (1 + Ln(qS0))-> I_max = N - 1/q (1 + Ln(R0)) （R0 = βS0/α = qS0）
有了I_max = N - 1/q (1 + Ln(R0)) 后，我们还想知道q值是多少。
已知I0 + S0 = N（N = 美国总人口，约为3.27E+8），在worldometers.org的数据找到I0 ，得出初期的易感人数S0 ，然后再借助R0 = qS0 的关系确定q值，就能用q值找到确诊人数的峰值I_max 。
为了让最终结果看上去不那么悲观，我们取3月15日的染病人数3613作为I0 ，那么S0 = 326996387 。
然后再取新冠肺炎的R0平均值3.77代入计算，得出q = 1.15E-8 。
进而得出I_max = 1.24E+8 。
至此，染病人数的峰值计算就结束了。
我们可以得出结论：美国的染病人数峰值，将会在未来某个时间点达到1.24亿，相当于平均每3个美国人就有1个会感染新冠肺炎。
这个结果，依然很悲观。
而《纽约时报》给出的悲观预测是：确诊人数将高达1.6亿至2.14亿，总死亡人数为20万至170万。
*The New York Times
现在的美国是什么样的状况呢？我们看另一则《纽约时报》的新闻：
2020年4月2日，纽约新设了45个移动停尸房，同时准备了85台冷藏卡车储存尸体，总计130个临时停尸房，当地火葬场也被允许全天24小时工作。
由于呼吸机极度缺乏，不得不两人共用一台的方法，进而引发死亡率上升。
这还远没有到达疫情的高峰期，《纽约时报》预计美国疫情的高峰期会在两周后到来，现在美国的确诊病例每天以30000+的速度增长（且不断变快），很难想象两周后的高峰期会发展到什么程度。
一位殡葬行业管理者说：平常火葬场一天只能火化12具尸体，现在半天就要火化38具尸体，大家都在超负荷的工作中坚持。
“我们不知道还能这样坚持多久。”管理者说。
这仅仅是美国疫情现状的一个切面。
仅仅一个月的时间，美国确诊人数就翻了1000倍。那一句“我们不知道还能这样坚持多久”，更像是对全美疫情现状的概括。
这些数字的背后意味着什么？
意味着更多人会因为疫情而被隔离、住进ICU、甚至死去，但同时也意味着会有更多人加入前线，与新冠病毒血战到底。
而我们之所以赞颂勇气，是因为我们人类总是在明知风险的时候，仍然选择做我们该做的事情。
就像他一样。
最后还有几句话想说。
以上的所有预测，包括对SIR模型的运用和解释，都是我的一家之言，还是那句老话：在非常时期，对于信息的获取和吸收，需要经过你的独立思考后再做出判断或评价。
我们有理由相信，随着防疫措施和群众意识的进一步加强，疫情的R0值会不断下降，确诊人数的增速随之下降，但至于拐点何时到来，谁也不知道。
如果有动手能力的读者，可以试着按上面说到的方法，自己操作一下SIR模型，应该会得出差不多的结论。
最后还是要提醒一下大家，在注意防范的同时，不要陷入民粹主义的陷阱里。不是说中国的疫情稍微控制住了，别的国家情况不那么好，就有底气去嘲笑别的国家和公民，或对所处的国家自怨自艾。病毒才是真正的敌人，任何的攻击、嘲笑或贬低，都没有一句真诚的祝福或身体力行的行动来得更有力量。
为全人类祝福吧，我依然不希望以上的预测成真。
在3月16日的美国确诊人数预估当中，我给出三个阶段性预测：
其中前两项结论早早成为现实，时间节点完全一致。第三项结论也大致准确，只是时间上超前了100多个小时。
于是有读者给我留言——
这太难为我这个塑料数学狗了，但我还是决定更新一下。
这次，我们用SIR模型做预测，这是传染病动力学中被广为接受的数学模型。
阅读本文可能需要高中的微积分知识做储备，如果你认真看完，你是能够自己上手做预测的。
准备好纸笔，你会惊讶于这场新冠肺炎究竟会严重到什么程度。
01
什么是SIR模型？
当一个人得病的时候，他要满足哪些条件呢？首先他得是个易感的人（Susceptible），其次才会染病（Infected），这场病结束后，他会康复或死亡（Removed）。
而SIR模型则将三种状态的人数变化（三者不重不漏），用三个微分等式联系了起来：
dS/dt = -βSI dI/dt = βSI - αIdR/dt = αI
其中α是康复率和致死率的总和，β是一个比例系数，均为常数。S + I + R = N，即总人口不变。由于新冠肺炎全人类易感，所以在初始状态下，N = S0 + I0 ，即总人口数为初始易感人数与初始染病人数的总和。
你仔细看一下这三个等式，其实是现实情况的真实写照。因为在一场流行病爆发时——
1. 健康的易感人数（S）一定是不断减少的，而且这个减少的速度是与现有的健康人数（S）和已经染病的人数（I）相关的，所以就有了dS/dt = -βSI；
2. 染病人数（I）随健康易感人数（S）的减少而增多，随康复或死亡人数（R）的增多而减少，所以dI/dt = βSI - αI；
3. 康复或死亡人数（R）随之不断增长，所以dR/dt = αI 。
当然，知道什么是SIR模型，并不足以预测疫情的走向，因为你还得知道一样东西——
02
R0值
在这三个等式中，我们最想研究的是dI/dt = (βS - α)I ，因为它直接关系到染病人数（I）的预测。
假如一场传染病要成为流行病，那么dI/dt 必须大于0。什么情况下dI/dt 会大于0呢？我们算一下——
-> dI/dt = (βS - α)I > 0-> βS - α > 0 -> βS > α -> βS/α > 1
也就是说，在疫情初期，当βS0/α>1 成立的时候，这场传染病就会成为流行病。而βS0/α这个数字，他有一个大名鼎鼎的名字，叫R0值（基本传染数）。
基本传染数，意为“一个染病的人平均会传染多少个人”——
假如R0 1，传染病会以指数方式散布，成为流行病，但不会永远持续，因为健康易感染人数（S）不断减少，而康复或死亡的人数（R）不断增多；
假如R0 = 1，传染病将成为地方性流行病。
而R0越大，传染病控制难度越大——
需要注意的是，R0是会变化的，但你只需记住R0 = βS0/α 就行了，后面的预测会用上。
现在咱们可以预测疫情的近期走向和未来峰值了——
03
近期走向
终于到你们感兴趣的部分了。
我们先继续研究dI/dt = βS I - αI 这条式子，看看能不能找出染病人数I(t) 的表达式：
-> dI/dt = (βS - α)I -> dI/I = (βS - α)dt-> Ln(I) = (βS - α)t + C （C是常数）-> I = e^[(βS - α)t + C]-> I = P * e^[(βS - α)t] （P是常数）-> I(t) = Pe^kt （k是常数）
发现了吗？I(t) 的表达式其实是一个指数函数：I(t) = Pe^kt 。
I(t) = Pe^kt 意味着什么呢？意味着在瘟疫爆发的一定时间内，流行病染病人数的增长会很大程度呈指数增长，变量为t（时间）。
所以才有了3月16日发布的“以指数函数为拟合方法”的塑料吹哨文，具体的预测方法与验证方法可参考这个链接，这里就不赘述了。
以下是我以美东时间3月26日至4月5日的确诊人数做参考数据后，得出对4月6日（x=12）至4月14日（x=20）的预测：
对照数据，我们可以得出以下结论：
1. 4月9日，美国确诊人数将突破50万；
2. 4月12日，这个数字将超过80万；
3. 4月14日，全美确诊人数将超过100万，并以每天超过20万的速度持续增长。
也就是说，距离突破100万可能只有1周的时间了。
*美国目前检测试剂的发放量依然有限，以上预测时间点有可能会有延迟
指数增长可怕的地方在于，当人们正走在一个斜坡上的时候，他们眼前所看到的未来的增长是这样的——
实际上，它很可能是这样的——
这也是为什么在疫情爆发的初期，人们普遍轻敌的原因。
但这个曲线，究竟会增长到什么地步呢？未来染病人数的峰值会是多少呢？
我们继续看——
04
未来峰值
这一段有点复杂
除了知道确诊人数的未来走向外，我们还想知道染病人数峰值（I_max）在哪里。
我们回到SIR模型中的dS/dt = -βSI 和dI/dt = βSI - αI ，看看能不能找到I(S) 的表达式：
-> dI/dS = (βSI - αI ) / -βSI -> dI/dS = -1 + α/βS-> dI = ( -1 + α/βS) dS
-> ∫dl = ∫( -1 + α/βS) dS-> I(S) = -S + 1/q Ln(S) + C （C是常数）（为了方便计算，令q = β/α）
为了确定上式中C 的唯一性，我们代入SIR初始状态I0 和S0 ，得出C = I0 + S0 + 1/q Ln(S0) 。
于是有了I(S) = I0 + S0 + 1/q Ln(S0) - S + 1/q Ln(S) 。我们希望通过这个表达式，找到染病人数的峰值在哪里。
要找到I(S) 的峰值，我们还要找到当dI/dS=0 时，S 等于多少：
-> dI/dS = (βSI - αI ) / -βSI -> dI/dS = -1 + α/βS = 0-> α/βS = 1-> S = α/β = 1/q
得出当S = 1/q 的时候，I(S) 会达到最大值。
我们将S = 1/q 代入I(S) 后得出：
-> I_max = I0 + S0 - 1/q (1 - Ln(1/q) + Ln(S0))-> I_max = I0 + S0 - 1/q (1 + Ln(q) + Ln(S0))
-> I_max = (I0 + S0) - 1/q (1 + Ln(qS0))-> I_max = N - 1/q (1 + Ln(R0)) （R0 = βS0/α = qS0）
有了I_max = N - 1/q (1 + Ln(R0)) 后，我们还想知道q值是多少。
已知I0 + S0 = N（N = 美国总人口，约为3.27E+8），在worldometers.org的数据找到I0 ，得出初期的易感人数S0 ，然后再借助R0 = qS0 的关系确定q值，就能用q值找到确诊人数的峰值I_max 。
为了让最终结果看上去不那么悲观，我们取3月15日的染病人数3613作为I0 ，那么S0 = 326996387 。
然后再取新冠肺炎的R0平均值3.77代入计算，得出q = 1.15E-8 。
进而得出I_max = 1.24E+8 。
至此，染病人数的峰值计算就结束了。
我们可以得出结论：美国的染病人数峰值，将会在未来某个时间点达到1.24亿，相当于平均每3个美国人就有1个会感染新冠肺炎。
这个结果，依然很悲观。
而《纽约时报》给出的悲观预测是：确诊人数将高达1.6亿至2.14亿，总死亡人数为20万至170万。
*The New York Times
现在的美国是什么样的状况呢？我们看另一则《纽约时报》的新闻：
2020年4月2日，纽约新设了45个移动停尸房，同时准备了85台冷藏卡车储存尸体，总计130个临时停尸房，当地火葬场也被允许全天24小时工作。
由于呼吸机极度缺乏，不得不两人共用一台的方法，进而引发死亡率上升。
这还远没有到达疫情的高峰期，《纽约时报》预计美国疫情的高峰期会在两周后到来，现在美国的确诊病例每天以30000+的速度增长（且不断变快），很难想象两周后的高峰期会发展到什么程度。
一位殡葬行业管理者说：平常火葬场一天只能火化12具尸体，现在半天就要火化38具尸体，大家都在超负荷的工作中坚持。
“我们不知道还能这样坚持多久。”管理者说。
这仅仅是美国疫情现状的一个切面。
仅仅一个月的时间，美国确诊人数就翻了1000倍。那一句“我们不知道还能这样坚持多久”，更像是对全美疫情现状的概括。
这些数字的背后意味着什么？
意味着更多人会因为疫情而被隔离、住进ICU、甚至死去，但同时也意味着会有更多人加入前线，与新冠病毒血战到底。
而我们之所以赞颂勇气，是因为我们人类总是在明知风险的时候，仍然选择做我们该做的事情。
就像他一样。
最后还有几句话想说。
以上的所有预测，包括对SIR模型的运用和解释，都是我的一家之言，还是那句老话：在非常时期，对于信息的获取和吸收，需要经过你的独立思考后再做出判断或评价。
我们有理由相信，随着防疫措施和群众意识的进一步加强，疫情的R0值会不断下降，确诊人数的增速随之下降，但至于拐点何时到来，谁也不知道。
如果有动手能力的读者，可以试着按上面说到的方法，自己操作一下SIR模型，应该会得出差不多的结论。
最后还是要提醒一下大家，在注意防范的同时，不要陷入民粹主义的陷阱里。不是说中国的疫情稍微控制住了，别的国家情况不那么好，就有底气去嘲笑别的国家和公民，或对所处的国家自怨自艾。病毒才是真正的敌人，任何的攻击、嘲笑或贬低，都没有一句真诚的祝福或身体力行的行动来得更有力量。
为全人类祝福吧，我依然不希望以上的预测成真。