11岁自学掌握微积分，14岁便已达到本科水平，17岁成功破解40年未解猜想。尚未高中毕业的她，已被马里兰大学博士项目直接录取。如今，这位传奇少女梦幻的人生故事，第一次呈现在了我们面前。
一位天才少女，因为觉得在家按部就班的上学生活太过「无聊」后，就去伯克利申请了一门研究生课程。
然后，她就「顺手破解」了一道困扰数学界40年的难题！
这种听起来像是爽文一样的人生，确确实实发生在今年2月。
倒不是说尚未完成高中学业的青少年无法解决复杂的数学问题，但出现这种结果的可能性似乎微乎其微。
2月10日，一篇推翻Mizohata-Takeuchi猜想的论文，令数学界感到震惊、欣喜，同时也预示一颗新星正在然然升起。
它的作者，正是当时年仅17岁的汉娜·凯罗（Hannah Cairo）。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.06137
数学是她逃离现实禁锢的无垠世界
汉娜的童年在巴哈马的拿骚度过。
和两个兄弟一样，她在家中接受教育，父亲是一位软件工程师。
她的数学之旅始于可汗学院的在线课程，这是一条被她迅速走完的跑道。
11岁时，微积分已是她的「囊中之物」。
不久，网上现成的内容已无法满足她。
父母为她找了两位数学教授进行远程辅导——先是韦尔斯利学院的Martin Magid，后是克拉克大学Amir Aazami。
但她大部分的学习仍是自我驱动的，独自阅读并消化着导师推荐的研究生级别数学教材。
汉娜回忆道，Amir Aazami后来曾说：「他感觉收我的学费都有些不好意思，因为他觉得自己并没真正教我什么。大多数时候，都是我自己读完书，然后尝试去证明里面的定理。」
但汉娜觉得家庭教育让她备受束缚。
「那是一种无法逃脱的、日复一日的单调。无论我做什么，都在同一个地方，做着几乎同样的事，」她说。
「我感到与世隔绝，无论做什么都无法改变。有时一觉醒来，我只感到自己又老了一岁，别无其他。」
数学成了一种慰藉，一个在她逼仄的现实生活中得以喘息的广阔空间。
「数学是我能探索的另一个世界。一个没有边界、只要一思考便能随时进入的世界，」她说。
「我就是这样长大的，将数学视为一个可以独自探索的思想王国。这个过程，让我对数学的看法与众不同。」
2021年，新冠疫情肆虐，当世界为多数人按下暂停键时，汉娜的世界却开始延展。
旅行限制将她一家困在了芝加哥的祖父母家。
在此期间，她加入了「芝加哥数学圈」（Math Circles of Chicago），一个师生共同解决数学难题的社群。
这次经历促使她在次年申请了「伯克利数学圈」为期两周的在线暑期项目，这里曾是全球顶尖数学天才的摇篮。
在申请材料中，她列出了一长串自学课程，其内容已相当于一个数学专业的高年级本科学位。
那一年，她14岁。
「汉娜是远超常人的非凡存在，」伯克利数学家、「伯克利数学圈」创始人Zvezdelina Stankova评价道。
「她每次申请学校或项目，都已遥遥领先了好几个层级。」
然而，这些零星的经历从未让汉娜觉得自己拥有超凡的数学天赋。
她说话温和、待人真诚而谦逊，似乎真的不确定自己的能力与他人相比究竟如何——部分原因在于，多年来，她唯一的参照系只有自己。
「成长过程中，我并不清楚自己算不算有天赋，」她说。
「我喜欢弹钢琴，周围人总夸我在数学和钢琴上都很有天分。但现在回头看，我的钢琴水平确实在平均之上，但绝谈不上出类拔萃。至于数学嘛……也就那么回事吧。」
一道华人教授留的附加题，是传奇的开始
2023年，在伯克利数学圈度过第二个夏天后，汉娜开始思索未来。
她申请了几所大学，虽因没有高中学历大多被拒，但还是收到了加州大学戴维斯分校的录取通知。
是该提前三年开始本科生涯？还是去别处寻求机会？
Stankova鼓励她参加伯克利的「并行招生计划」，直接修读由领域内顶尖学者授课的研究生课程。
汉娜采纳了建议。
2023年秋，全家搬到了戴维斯市。哥哥入读加大戴维斯分校，而父母则允许她每周二、四通勤到伯克利上课。
到了春季，她已是每周五天泡在伯克利，修读更多课程。
她回忆，那是她生命中开始感到充满无限可能的时期。
「我开始交朋友，一切感觉都很好，」她说。春季学期结束后，全家从戴维斯搬到了伯克利——哥哥也决定转学至此——汉娜终于感到了安稳。
即便如此，适应过程仍在继续。「我没什么社交经验，所以还需要学习如何与人相处。」
2024-2025学年伊始，汉娜在选课时，被一门名为「傅里叶限制性理论」（Fourier restriction theory）的研究生课程所吸引，它是调和分析的一个分支。
「这是当时开设的最前沿的分析学课程之一，所以我想，干嘛不试试呢？」
授课教授是张瑞祥，一位成就斐然的数学家。
他的学术道路堪称典范：2008年国际数学奥林匹克竞赛金牌得主、在北大数院拿到学士学位、普林斯顿大学博士、高等研究院博士后，随后在全球顶尖的伯克利数学系获得终身教职。
汉娜邮件联系了张瑞祥，希望能加入他的课堂。「汉娜非常专注，且对这个课题充满热情，」他说。
「单是这种态度就足够了，所以我很爽快地同意了。」
几周后，在完成一份作业时，她遇到了一个让她沉迷其中、无法自拔的问题。
这个问题是「Mizohata-Takeuchi猜想」的一个简化版本。
张瑞祥将其作为热身题放在作业里，意在鼓励学生在一个艰深的领域中练习高级技巧。
作业还有一个选做题，邀请学生思考能否将简化版的证明推广到更复杂的情形。
汉娜完成了作业，并欣然接受了挑战，继续深挖下去。
对她而言，沿着一个想法的脉络走到尽头，是再自然不过的事。「我为什么要停下呢？」她说。
「Mizohata-Takeuchi猜想」是一个调和分析领域的问题，该领域旨在研究函数如何由各种波状成分组合而成。
任何函数都可以被分解为一系列简单的正弦波之和，而每个正弦波都有其频率。
数学家们常常想理解那些只能由特定频率的正弦波构成的函数的性质。在这些情况下，被允许的频率必须满足能勾勒出特定曲面（如球面）的方程。
这背后的原因在于，许多定义物理波（如光波、声波和量子波）的函数，其频率都受限于此类曲面。
「Mizohata-Takeuchi猜想」所考虑的，正是由频率落在这样一个曲面上的波所构成的函数。该猜想断言：函数的能量（衡量函数振幅大小的指标）只能以特定的模式分布和集中。
这好比在一个形状奇特的房间里演奏音乐。声波有时会因回声而放大，变得异常响亮。但这种情况的发生，必定是在房间里的某些特定位置。
几十年来，数学家们仅在该猜想的少数特例上取得了有限进展，而其普遍形式却始终无人能解，所有标准方法似乎都无从下手。
这种坚不可摧的特性让一些数学家怀疑它本身就是错的；而另一些人则认为，其表述的优雅简洁预示着它更可能为真。
「有些早上我醒来会想，这个猜想表述如此简洁优雅，适用范围又如此之广，它最终必然是真的，」研究该问题数十年的爱丁堡大学数学家Carbery说。「但另一些早上，我又会觉得……它不可能那么简单地就成立。」
数学家们就此陷入了僵局。
在攻克任何难题的道路上，怀疑总是如影随形。数学家们怀疑自己的方法、怀疑自己的直觉，怀疑那个当下看似前途光明的想法，最终能否站得住脚。
对汉娜而言，这些怀疑被进一步放大了。她初来乍到，早期证明完整猜想的尝试既不成熟也不完整。
她不确定自己的方向是否正确，张瑞祥也同样抱有疑虑。
「我跑去答疑时间问他，这些想法可行吗？结果证明它们很愚蠢，根本行不通，」她说。
「过程就是这样来来回回。我带着新想法去答疑，问它们是否可行，他总是回答不行。」
汉娜没有放弃，继续阅读与思考。
最终，她找到了一个方法，利用频率均落在特定曲面上的波，构建出一个奇特而复杂的函数。通常，当这类波叠加时，它们会相互干涉，在某些地方抵消，在另一些地方增强。
但汉娜证明，在她构建的函数中，波并没有如预期那样抵消。
相反，它们的干涉产生了不均匀的模式，导致函数能量以一种「Mizohata-Takeuchi猜想」所禁止的分形形态，在某些区域扩散，在另一些区域集中。
她发现自己创造出了一个在许多人看来本不该存在的数学结构。
起初，她对此心存疑虑。「我经常遇到这种情况，」她说。「我得出了一个看似证明的结论，以为自己成功了，但结果发现自己其实是错的。」
随后，两件事发生了。
第一，她意识到可以用一个远为简单的构造来替代原先复杂的构造，并得到相同的结果。
第二，她彻底说服了自己，也说服了张瑞祥——这个结果是正确的。
她的第一个学位将是博士学位
自汉娜二月发布论文以来，这份证明及其出人意料的作者，为整个数学界注入了前所未有的活力。
「我当时的反应绝对是，哇！这可是我近40年来最钟爱的问题，我被彻底震撼了，」Carbery说。
「当我得知她比我想象的还要年轻得多时，我更是佩服得五体投地。论文行文之优雅，堪称非凡。」
数学家们对汉娜的研究将如何启发新方向感到兴奋。
「我敢肯定，从今往后，每当我们遇到类似问题，都会尝试用类汉娜构造来进行检验，」Oliveira说。
他和调和分析领域的同仁们，将不得不面对一个被彻底改变的学术格局。
在调和分析领域，存在着一系列关于波能量如何集中的核心问题。
其中一个名为「斯坦猜想（Stein’s conjecture）」的猜想如果为真，将能把该领域中一些最重要的问题联系起来。但汉娜的工作证明了斯坦因猜想是错误的，从而切断了数学家们曾寄予厚望的一条关键路径。
数学界也在适应汉娜本人的存在。
完成证明后，她决定直接申请博士项目，完全跳过大学本科（和高中文凭）。
在她看来，自己早已在过着研究生的生活。
她申请了10个博士项目，6个因她没有大学学位而拒绝了她，另有2个录取后又被学校高层驳回。
最终，只有马里兰大学和约翰·霍普金斯大学愿意直接录取她攻读博士。
今年秋天，她将在马里兰大学开启她的求学生涯。
待她毕业之时，那将是她人生中的第一个学位——博士学位。
11岁自学掌握微积分，14岁便已达到本科水平，17岁成功破解40年未解猜想。尚未高中毕业的她，已被马里兰大学博士项目直接录取。如今，这位传奇少女梦幻的人生故事，第一次呈现在了我们面前。
一位天才少女，因为觉得在家按部就班的上学生活太过「无聊」后，就去伯克利申请了一门研究生课程。
然后，她就「顺手破解」了一道困扰数学界40年的难题！
这种听起来像是爽文一样的人生，确确实实发生在今年2月。
倒不是说尚未完成高中学业的青少年无法解决复杂的数学问题，但出现这种结果的可能性似乎微乎其微。
2月10日，一篇推翻Mizohata-Takeuchi猜想的论文，令数学界感到震惊、欣喜，同时也预示一颗新星正在然然升起。
它的作者，正是当时年仅17岁的汉娜·凯罗（Hannah Cairo）。
论文地址：https://arxiv.org/pdf/2502.06137
数学是她逃离现实禁锢的无垠世界
汉娜的童年在巴哈马的拿骚度过。
和两个兄弟一样，她在家中接受教育，父亲是一位软件工程师。
她的数学之旅始于可汗学院的在线课程，这是一条被她迅速走完的跑道。
11岁时，微积分已是她的「囊中之物」。
不久，网上现成的内容已无法满足她。
父母为她找了两位数学教授进行远程辅导——先是韦尔斯利学院的Martin Magid，后是克拉克大学Amir Aazami。
但她大部分的学习仍是自我驱动的，独自阅读并消化着导师推荐的研究生级别数学教材。
汉娜回忆道，Amir Aazami后来曾说：「他感觉收我的学费都有些不好意思，因为他觉得自己并没真正教我什么。大多数时候，都是我自己读完书，然后尝试去证明里面的定理。」
但汉娜觉得家庭教育让她备受束缚。
「那是一种无法逃脱的、日复一日的单调。无论我做什么，都在同一个地方，做着几乎同样的事，」她说。
「我感到与世隔绝，无论做什么都无法改变。有时一觉醒来，我只感到自己又老了一岁，别无其他。」
数学成了一种慰藉，一个在她逼仄的现实生活中得以喘息的广阔空间。
「数学是我能探索的另一个世界。一个没有边界、只要一思考便能随时进入的世界，」她说。
「我就是这样长大的，将数学视为一个可以独自探索的思想王国。这个过程，让我对数学的看法与众不同。」
2021年，新冠疫情肆虐，当世界为多数人按下暂停键时，汉娜的世界却开始延展。
旅行限制将她一家困在了芝加哥的祖父母家。
在此期间，她加入了「芝加哥数学圈」（Math Circles of Chicago），一个师生共同解决数学难题的社群。
这次经历促使她在次年申请了「伯克利数学圈」为期两周的在线暑期项目，这里曾是全球顶尖数学天才的摇篮。
在申请材料中，她列出了一长串自学课程，其内容已相当于一个数学专业的高年级本科学位。
那一年，她14岁。
「汉娜是远超常人的非凡存在，」伯克利数学家、「伯克利数学圈」创始人Zvezdelina Stankova评价道。
「她每次申请学校或项目，都已遥遥领先了好几个层级。」
然而，这些零星的经历从未让汉娜觉得自己拥有超凡的数学天赋。
她说话温和、待人真诚而谦逊，似乎真的不确定自己的能力与他人相比究竟如何——部分原因在于，多年来，她唯一的参照系只有自己。
「成长过程中，我并不清楚自己算不算有天赋，」她说。
「我喜欢弹钢琴，周围人总夸我在数学和钢琴上都很有天分。但现在回头看，我的钢琴水平确实在平均之上，但绝谈不上出类拔萃。至于数学嘛……也就那么回事吧。」
一道华人教授留的附加题，是传奇的开始
2023年，在伯克利数学圈度过第二个夏天后，汉娜开始思索未来。
她申请了几所大学，虽因没有高中学历大多被拒，但还是收到了加州大学戴维斯分校的录取通知。
是该提前三年开始本科生涯？还是去别处寻求机会？
Stankova鼓励她参加伯克利的「并行招生计划」，直接修读由领域内顶尖学者授课的研究生课程。
汉娜采纳了建议。
2023年秋，全家搬到了戴维斯市。哥哥入读加大戴维斯分校，而父母则允许她每周二、四通勤到伯克利上课。
到了春季，她已是每周五天泡在伯克利，修读更多课程。
她回忆，那是她生命中开始感到充满无限可能的时期。
「我开始交朋友，一切感觉都很好，」她说。春季学期结束后，全家从戴维斯搬到了伯克利——哥哥也决定转学至此——汉娜终于感到了安稳。
即便如此，适应过程仍在继续。「我没什么社交经验，所以还需要学习如何与人相处。」
2024-2025学年伊始，汉娜在选课时，被一门名为「傅里叶限制性理论」（Fourier restriction theory）的研究生课程所吸引，它是调和分析的一个分支。
「这是当时开设的最前沿的分析学课程之一，所以我想，干嘛不试试呢？」
授课教授是张瑞祥，一位成就斐然的数学家。
他的学术道路堪称典范：2008年国际数学奥林匹克竞赛金牌得主、在北大数院拿到学士学位、普林斯顿大学博士、高等研究院博士后，随后在全球顶尖的伯克利数学系获得终身教职。
汉娜邮件联系了张瑞祥，希望能加入他的课堂。「汉娜非常专注，且对这个课题充满热情，」他说。
「单是这种态度就足够了，所以我很爽快地同意了。」
几周后，在完成一份作业时，她遇到了一个让她沉迷其中、无法自拔的问题。
这个问题是「Mizohata-Takeuchi猜想」的一个简化版本。
张瑞祥将其作为热身题放在作业里，意在鼓励学生在一个艰深的领域中练习高级技巧。
作业还有一个选做题，邀请学生思考能否将简化版的证明推广到更复杂的情形。
汉娜完成了作业，并欣然接受了挑战，继续深挖下去。
对她而言，沿着一个想法的脉络走到尽头，是再自然不过的事。「我为什么要停下呢？」她说。
「Mizohata-Takeuchi猜想」是一个调和分析领域的问题，该领域旨在研究函数如何由各种波状成分组合而成。
任何函数都可以被分解为一系列简单的正弦波之和，而每个正弦波都有其频率。
数学家们常常想理解那些只能由特定频率的正弦波构成的函数的性质。在这些情况下，被允许的频率必须满足能勾勒出特定曲面（如球面）的方程。
这背后的原因在于，许多定义物理波（如光波、声波和量子波）的函数，其频率都受限于此类曲面。
「Mizohata-Takeuchi猜想」所考虑的，正是由频率落在这样一个曲面上的波所构成的函数。该猜想断言：函数的能量（衡量函数振幅大小的指标）只能以特定的模式分布和集中。
这好比在一个形状奇特的房间里演奏音乐。声波有时会因回声而放大，变得异常响亮。但这种情况的发生，必定是在房间里的某些特定位置。
几十年来，数学家们仅在该猜想的少数特例上取得了有限进展，而其普遍形式却始终无人能解，所有标准方法似乎都无从下手。
这种坚不可摧的特性让一些数学家怀疑它本身就是错的；而另一些人则认为，其表述的优雅简洁预示着它更可能为真。
「有些早上我醒来会想，这个猜想表述如此简洁优雅，适用范围又如此之广，它最终必然是真的，」研究该问题数十年的爱丁堡大学数学家Carbery说。「但另一些早上，我又会觉得……它不可能那么简单地就成立。」
数学家们就此陷入了僵局。
在攻克任何难题的道路上，怀疑总是如影随形。数学家们怀疑自己的方法、怀疑自己的直觉，怀疑那个当下看似前途光明的想法，最终能否站得住脚。
对汉娜而言，这些怀疑被进一步放大了。她初来乍到，早期证明完整猜想的尝试既不成熟也不完整。
她不确定自己的方向是否正确，张瑞祥也同样抱有疑虑。
「我跑去答疑时间问他，这些想法可行吗？结果证明它们很愚蠢，根本行不通，」她说。
「过程就是这样来来回回。我带着新想法去答疑，问它们是否可行，他总是回答不行。」
汉娜没有放弃，继续阅读与思考。
最终，她找到了一个方法，利用频率均落在特定曲面上的波，构建出一个奇特而复杂的函数。通常，当这类波叠加时，它们会相互干涉，在某些地方抵消，在另一些地方增强。
但汉娜证明，在她构建的函数中，波并没有如预期那样抵消。
相反，它们的干涉产生了不均匀的模式，导致函数能量以一种「Mizohata-Takeuchi猜想」所禁止的分形形态，在某些区域扩散，在另一些区域集中。
她发现自己创造出了一个在许多人看来本不该存在的数学结构。
起初，她对此心存疑虑。「我经常遇到这种情况，」她说。「我得出了一个看似证明的结论，以为自己成功了，但结果发现自己其实是错的。」
随后，两件事发生了。
第一，她意识到可以用一个远为简单的构造来替代原先复杂的构造，并得到相同的结果。
第二，她彻底说服了自己，也说服了张瑞祥——这个结果是正确的。
她的第一个学位将是博士学位
自汉娜二月发布论文以来，这份证明及其出人意料的作者，为整个数学界注入了前所未有的活力。
「我当时的反应绝对是，哇！这可是我近40年来最钟爱的问题，我被彻底震撼了，」Carbery说。
「当我得知她比我想象的还要年轻得多时，我更是佩服得五体投地。论文行文之优雅，堪称非凡。」
数学家们对汉娜的研究将如何启发新方向感到兴奋。
「我敢肯定，从今往后，每当我们遇到类似问题，都会尝试用类汉娜构造来进行检验，」Oliveira说。
他和调和分析领域的同仁们，将不得不面对一个被彻底改变的学术格局。
在调和分析领域，存在着一系列关于波能量如何集中的核心问题。
其中一个名为「斯坦猜想（Stein’s conjecture）」的猜想如果为真，将能把该领域中一些最重要的问题联系起来。但汉娜的工作证明了斯坦因猜想是错误的，从而切断了数学家们曾寄予厚望的一条关键路径。
数学界也在适应汉娜本人的存在。
完成证明后，她决定直接申请博士项目，完全跳过大学本科（和高中文凭）。
在她看来，自己早已在过着研究生的生活。
她申请了10个博士项目，6个因她没有大学学位而拒绝了她，另有2个录取后又被学校高层驳回。
最终，只有马里兰大学和约翰·霍普金斯大学愿意直接录取她攻读博士。
今年秋天，她将在马里兰大学开启她的求学生涯。
待她毕业之时，那将是她人生中的第一个学位——博士学位。